Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XIII OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XIII OM, 1961-1962

Etap:

II

Dowieść, że jeżeli boki $a$ , $b$ , $c$ trójkąta spełniają nierówność

$<br /> a < b < c<br />$

to dwusieczne $d_a$ , $d_b$ , $d_c$ kątów przeciwległych spełniają nierówność

$<br /> d_a > d_b > d_c.<br />$

Rozwiązanie

Zadanie możemy rozwiązać, obliczając dwusieczne kątów trójkąta $ABC$ w zależności od jego boków i kątów. Zauważmy najpierw, że odcinki $BD$ i $DC$ , na jakie dwusieczna $AD$ dzieli $BC$ (rys. 27) są proporcjonalne do boków $AB$ i $AC$ :

$<br /> \frac{BD}{BC-BD} = \frac{AB}{AC},<br />$

skąd

$<br /> BD = \frac{BC \cdot AB}{AC + AB}= \frac{ac}{b+c}.<br />$

Stosując twierdzenie sinusów do trójkąta $ABD$ , otrzymujemy

$<br /> \frac{AD}{BD} = \frac{\sin B}{\sin \frac{A}{2}}, \textrm{ zatem } AD = d_a = \frac{ac}{b+c} \cdot \frac{\sin B}{\sin \frac{A}{2}},<br />$

a ponieważ $a \sin B = b \sin A = 2b \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ , więc ostatecznie

$<br /> d_a = \frac{2bc \cos \frac{A}{2}}{b+c}.<br />$

Analogicznie

$<br /> d_b = \frac{2ac \cos \frac{B}{2}}{a+c}.<br />$

Stąd

$<br /> \frac{d_a}{d_b} = \frac{ab+bc}{ab+ac} \frac{\cos \frac{A}{2}}{\cos \frac{B}{2}}.<br />$

Jeżeli $a < b$ , to $ab + bc> ab + ac$ , $\measuredangle \frac{A}{2} < \measuredangle \frac{B}{2}$ , $\cos \frac{A}{2} > \cos \frac{B}{2}$ , zatem z powyższego wzoru wynika, że

$<br /> d_a > d_b.<br />$

Analogicznie gdy $b < c$ , to $d_b > d_c$ .

Zatem z nierówności $a < b < c$ wynika nierówność $d_a > d_b > d_c$ c. n. d.

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1462