XIII OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XIII OM, 1961-1962

Etap:

Znaleźć liczbę trzycyfrową o tej własności, że liczba przedstawiona tymi cyframi i w tej samej kolejności, ale przy podstawie numeracji różnej niż $10$ , jest dwa razy większa od liczby danej.

Rozwiązanie

Jeżeli $x$ , $y$ , $z$ oznaczają kolejne cyfry poszukiwanej liczby, a $c$ - nową podstawę numeracji, to

$ 2 (100 x + 10y + z) = c^2x + cy + z. $

Równanie to możemy zastąpić równaniem

$ (1) \qquad (200 - c^2) x + (20 - c) y + z = 0. $

Zadanie polega na rozwiązaniu równania (1) w liczbach całkowitych $x$ , $y$ , $z$ , $c$ , spełniających warunki $1 \leq x \leq 9$ , $0 \leq y \leq 9$ , $0\leq z \leq 9$ , $c > 0$ .

Udowodnimy najpierw, że jedyną możliwą wartością $c$ jest $15$ . Istotnie, gdy $x$ , $y$ , $z$ spełniają wymienione wyżej warunki, a $0 < c \leq 14$ , wtedy

$ (200 - c^2) x + (20 - c) y + z \geq 4x + 6y + z \geq 4, $

gdy zaś $c > 16$ , wtedy

$ (200 - c^2)x + (20 - c)y + z \leq - 56x + 4y + z \leq - 56 + 36 + 9 = - 11. $

Podstawiając w równanie (1) $c = 15$ , otrzymujemy równanie

$ (2) \qquad - 25x + 5y + z = 0. $

Jeżeli liczby całkowite $x$ , $y$ , $z$ spełniają równanie (2), to $z$ jest podzielne przez wspólny czynnik $5$ pierwszych dwóch wyrazów, a ponieważ $0 \leq z \leq 9$ , więc istnieją tylko dwie możliwości

a) $z = 0$ ; z równania (2) otrzymujemy

$ -5x + y = 0, $

skąd jest widoczne, że $x$ i $y$ mogą mieć tylko wartości $x = 1$ , $y = 5$ , co daje dla liczby poszukiwanej wartość $150$ . Liczba ta spełnia istotnie warunek zadania, gdyż przy podstawie numeracji $15$ przedstawia ona liczbę $15^2 + 5 \cdot 15 = 300 = 2 \cdot 150$ .

b) $z = 5$ ; dla wyznaczenia $x$ i $y$ otrzymujemy według (2) równanie:

$ - 5x + y + 1 = 0, $

skąd widać, że $x < 3$ , gdyż dla $x \geq 3$ jest $-5x + y + 1 \leq -15 + 9 + 1 = -5$ . Gdy $x = 1$ , wtedy $y = 4$ , a gdy $x = 2$ , mamy $y = 9$ ; odpowiednimi wartościami liczby poszukiwanej są $145$ i $295$ . Obie te liczby czynią zadość warunkowi zadania, gdyż