XIII OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XIII OM, 1961-1962

Etap:

III

Udowodnić, że jeżeli liczby $a_1, a_2,\ldots, a_n$ ( $n$ - liczba naturalna $\geq 2$ ) tworzą postęp arytmetyczny, a żadna z nich nie jest zerem, to

$ (1) \qquad \frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_2a_3} + \ldots + \frac{1}{a_{n-1}a_n} = \frac{n-1}{a_1a_n}. $

Rozwiązanie

Jeżeli różnica postępu $d$ równa się zeru, to $a_1 = a_2 = \ldots = a_n$ i wzor (1) wyraża tożsamość $\frac{n-1}{a_1^2} = \frac{n-1}{a_1^2}$ .

Jeżeli $d \ne 0$ , to dla dowolnego naturalnego $k < n$

$ \frac{a_ka_{k+1}} = \frac{1}{d} \cdot \frac{a_{k+1} - a_k}{a_ka_{k+1}} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right). $

Zatem

$ \begin{split} \frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_2a_3} + & \ldots + \frac{1}{a_{n-1}a_n} = \\ & = \frac{1}{d} \left[ \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{2}} \right)+ \left( \frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_{3}} \right)+ \ldots+ \left( \frac{1}{a_{n-1}} - \frac{1}{a_{n}} \right) \right]= \\ & = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{n}} \right) = \frac{a_n - a_1}{d \cdot a_1 \cdot a_n} = \frac{(n-1)d}{d \cdot a_1a_n} = \frac{n-1}{a_1a_n}. \end{split} $