XIII OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XIII OM, 1961-1962

Etap:

III

Wewnątrz danego czworokąta wypukłego znaleźć taki punkt, żeby odcinki łączące ten punkt ze środkami boków czworokąta dzieliły czworokąt na cztery części o równych polach.

Rozwiązanie

Pole czworokąta wypukłego $ABCD$ równa się polu trójkąta $B'CD$ , gdzie $B'$ jest punktem przecięcia prostej $DA$ z równoległą do przekątnej $AC$ poprowadzoną z punktu $B$ . Niech $K$ będzie środkiem odcinka $DB'$ (rys. 32), $P$ i $Q$ środkami boków $CD$ i $DA$ , a $O$ punktem poszukiwanym. Pole trójkąta $KPD$ równa się $\frac{1}{4}$ pola trójkąta $B'CD$ , tzn. $\frac{1}{4}$ pola czworoboku $ABCD$ , a więc równa się polu czworokąta $QOPD$ . Stąd wynika, że pole trójkąta $KPQ$ równa się polu trójkąta $OPQ$ , ponieważ zaś te trójkąty mają wspólny bok $PQ$ , a wierzchołki ich leżą po tej samej stronie prostej $PQ$ , więc prosta $KO$ jest równoległa do prostej $PQ$ , zatem również do $AC$ .

Jednym miejscem geometrycznym punktu $O$ jest więc prosta poprowadzona przez punkt $K$ równolegle do $AC$ . Analogicznie znajdujemy drugie miejsce geometryczne punktu $O$ : jest nim prosta równoległa do $BD$ i przechodząca przez środek $L$ takiego odcinka $AC'$ prostej $AD$ , że $CC' \parallel BD$ .