XIII OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XIII OM, 1961-1962

Etap:

III

Udowodnić, że jeżeli $n$ jest liczbą naturalną większą od $2$ , to

$ (1) \qquad \sqrt[n + 1]{n+1} < \sqrt[n]{n}. $

Rozwiązanie

Podnosząc obie strony nierówności (1) do potęgi $n (n +1)$ otrzymujemy nierówność równoważną

$ (n + 1)^n < n^{n+1}, $

którą z kolei zastąpimy nierównością równoważną $\left( \frac{n+1}{n} \right)^n < n$ , czyli nierównością

$ (2) \qquad \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n < n. $

Dowód nierówności (2) dla każdego naturalnego $n$ większego niż $2$ , łatwo przeprowadzić metodą indukcji.

a) gdy $n = 3$ , nierówność (2) jest prawdziwa, gdyż $\left(1 + \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{64}{27} < 3$ .

b) jeżeli dla pewnego $n$ jest $\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n < n$ , to

$ \begin{split} \left(1 + \frac{1}{n+1} \right. & \left. \right)^{n+1} = \left(1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n} \left(1 + \frac{1}{n+1} \right)<\\ & < \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \left(1 + \frac{1}{n+1} \right)< n \left(1 + \frac{1}{n+1} \right) = n + \frac{n}{n+1} < n+1. \end{split} $

Z przesłanek a) i b) wynika prawdziwość nierówności (2), zatem również nierówności (1), dla każdego naturalnego $n > 2$ .

Uwaga. Łatwo uzyskać nierówność znacznie mocniejszą niż (2); dowiedziemy mianowicie, że dla każdego naturalnego $n$ jest

$ \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} < 3. $

Według dwumianu Newtona

$ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = 1 + n \cdot \frac{1}{n} + \binom{n}{2} \cdot \frac{1}{n^2} + \ldots + \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} + \ldots + \binom{n}{n} \frac{1}{n^2}. $

Otóż

$ \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot k} \cdot \frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \ldots \left( 1 - \frac{k-1}{n} \right) < \frac{1}{k!}. $

Zatem

$ \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n < 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots +\frac{1}{n!} < 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{2^n} = 1+ \left( 2 - \frac{1}{2^n} \right) < 3. $

Można dowieść, że gdy $n$ wzrasta, wtedy wartość $\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n$ również wzrasta. Ciąg liczb $\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n$ , gdy $n = 1, 2, 3, \ldots$ jest więc ciągiem rosnącym, którego każdy wyraz jest mniejszy od $3$ . Według jednego z podstawowych twierdzeń analizy matematycznej ciąg taki ma granicę, tj. istnieje liczba, od której $\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n$ różni się dowolnie mało, o ile tylko $n$ jest dostatecznie wielkie. Granicą ciągu $\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n$ jest pewna liczba niewymierna, która gra dużą rolę w matematyce; oznacza się ją literą $e$ . Wartością przybliżoną liczby $e$ jest $2,71828\ldots$ .