XIII OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XIII OM, 1961-1962

Etap:

III

Dane są trzy proste $a$ , $b$ , $c$ parami skośne. Gzy można zbudować taki równoległościan, którego krawędzie leżą na prostych $a$ , $b$ , $c$ ?

Rozwiązanie

Rozwiązanie zadania oprzemy na następującym twierdzeniu:

Jeżeli $a$ i $b$ są prostymi skośnymi to: a) istnieje para płaszczyzn równoległych, z których jedna zawiera prostą $a$ , a druga prostą $b$ b) taka para płaszczyzn jest tylko jedna.

Dowód: a) Przez dowolnie obrany punkt $A$ prostej $a$ prowadzimy prostą $b'$ równoległą do $b$ i podobnie przez dowolny punkt $B$ prostej $b$ prowadzimy prostą $a'$ równoległą do $a$ . Płaszczyzna $\alpha$ prostych $a$ i $b'$ i płaszczyzna $\beta$ prostych $a'$ i $b$ (różna od $\alpha$ ) są równoległe, gdyż dwie przecinające się proste jednej z tych płaszczyzn są odpowiednio równoległe do dwóch przecinających się prostych drugiej z nich.

b) Jeżeli płaszczyzny $\alpha$ i $\alpha '$ przechodzą przez prostą $a$ , płaszczyzny $\beta$ i $\beta'$ przez prostą $b$ , przy czym $\alpha \parallel \beta$ i $\alpha' \parallel \beta'$ , to płaszczyzny $\alpha$ i $\alpha'$ muszą się pokrywać. Istotnie, gdyby $\alpha$ i $\alpha'$ nie pokrywały się, to przecinałyby się wzdłuż prostej $a$ ; ponieważ zaś $\alpha$ i $\alpha'$ są równoległe do prostej $b$ jako leżącej na płaszczyznach $\beta$ i $\beta'$ , więc prosta $a$ musiałaby być równoległa do prostej $b$ wbrew założeniu, że proste $a$ i $b$ są skośne. Zatem płaszczyzny $\alpha$ i $\alpha'$ i tak samo płaszczyzny $\beta$ i $\beta'$ pokrywają się.

Zauważmy teraz, że przez każdą z dwóch skośnych krawędzi równoległościanu przechodzą dwie jego ściany i że z tych czterech ścian, które są wszystkie różne, dwie są równoległe. Istotnie, równoległościan ma $6$ ścian parami równoległych, więc wśród czterech jego różnych ścian muszą któreś dwie należeć do jednej z tych par.

Jeżeli zatem dane są dwie proste skośne $a$ i $b$ , na których leżą dwie krawędzie równoległościanu, to według poprzedniego twierdzenia proste $a$ i $b$ wyznaczają jednoznacznie płaszczyzny dwóch ścian przeciwległych równoległościanu.

Trzy proste $a$ , $b$ , $c$ parami skośne wyznaczają jednoznacznie $3$ pary płaszczyzn: $(\alpha_1, \alpha_2)$ , $(\beta_, \beta_2)$ , $(y_1, y_2)$ przechodzących odpowiednio przez proste $a$ , $b$ , $c$ i takich, że $\alpha_1 \parallel \beta_1$ , $\alpha_2 \parallel \gamma_1$ , $\beta_2 \parallel \gamma_2$ . Możliwe są przy tym dwa przypadki:

1) Płaszczyzny jednej z par płaszczyzn równoległych $\alpha_1 \parallel \beta_1$ , $\alpha_2 \parallel \gamma_1$ , $\beta_2 \parallel \gamma_2$ są równoległe do płaszczyzn innej pary (pokrywanie się plaszczyzn traktujemy jako przypadek szczególny równoległości), np. $\alpha_1 \parallel \beta_1 \parallel \alpha_2 \parallel \gamma_1$ , wtedy $\alpha_1$ i $\alpha_2$ , mające prostą wspólną, pokrywają się; tak samo pokrywać się muszą $\beta_1$ i $\beta_2$ oraz $\gamma_1$ i $\gamma_2$ , gdyż są to dwie pary płaszczyzn przechodzących odpowiednio przez proste $b$ i $c$ , przy czym płaszczyzny jednej pary są równoległe do płaszczyzn drugiej pary.

W rozważanym przypadku proste $a$ , $b$ , $c$ leżą zatem na $3$ płaszczyznach wzajemnie równoległych $\alpha_1$ , $\beta_1$ , $\gamma_1$ . Równoległościan, którego $3$ krawędzie leżałyby na prostych $a$ , $b$ , $c$ nie istnieje, gdyż wszystkie jego ściany musiałyby leżeć na trzech płaszczyznach $\alpha_1$ , $\beta_1$ , $\gamma_1$ , co jest niemożliwe.

2) Płaszczyzny każdej z par płaszczyzn równoległych $\alpha_1; \beta_1)$ , $(\alpha_2, \gamma_1)$ , $(\beta_1, \gamma_2)$ przecinają płaszczyzny obu innych par. Każda płaszczyzna przecina $4$ z pozostałych, wobec czego mamy $12$ prostych przecięcia, wśród których znajdują się proste $a$ , $b$ , $c$ . Przez te $6$ płaszczyzn wyznaczony jest w przestrzeni żądany równoległościan. Mianowicie płaszczyzny równoległe $\alpha_1$ i $\beta_1$ , wyznaczają warstwę przestrzeni zawartą między nimi, płaszczyzny $\alpha_2$ i $\gamma_1$ wycinają z tej warstwy słup o $4$ ścianach, wreszcie płaszczyzny $\beta_2$ i $\gamma_2$ wycinają z owego słupa równoległościan.

Odpowiedź na postawione pytanie brzmi zatem: Jeżeli dane są trzy proste $a$ , $b$ , $c$ parami skośne, to równoległościan, którego $3$ krawędzie leżą na prostych $a$ , $b$ , $c$ można zbudować wtedy i tylko wtedy, gdy proste $a$ , $b$ , $c$ nie leżą na $3$ płaszczyznach wzajemnie równoległych. Równoległościan taki jest tylko jeden.