XII OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XII OM, 1960-1961

Etap:

Narysowano $k$ prostych równoległych i przecięto je $n$ prostymi równoległymi. Ile powstało równoległoboków?

Rozwiązanie

Każdy równoległobok wyznacza (po przedłużeniu boków) jedną parę $(a, b)$ spośród danych $k$ prostych równoległych i jedną parę $(c, d)$ spośród $n$ prostych równoległych; odwrotnie, każde dwie takie pary $(a, b)$ i $(c, d)$ prostych równoległych wyznaczają jeden równoległobok figury. Wobec tego ha danej figurze jest tyle równoległoboków, ile jest różnych czwórek $[(a, b), (c, d)]$ .

Otóż z $k$ prostych można utworzyć $\frac{1}{2} k (k - 1)$ różnych par $(a, b)$ . Istotnie, każdą z danych $k$ prostych można złączyć w parę z każdą z $k - 1$ pozostałych prostych, co daje $k (k - 1)$ par, wśród których każda z żądanych par występuje dwukrotnie, raz jako $(a, b)$ i drugi raz jako $(b, a)$ . Podobnie z $n$ danych prostych można utworzyć $\frac{1}{2}n(n-1)$ różnych par $(c, d)$ . Ilość różnych czwórek $[(a, b), (c, d)]$ wynosi zatem

$<br /> \frac{1}{2}k(k-1)\cdot \frac{1}{2}n(n-1).<br />$

Gdy np. $k = 3$ , $n = 4$ , mamy na figurze $18$ równoległoboków, co ilustruje rys. 1.