XII OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XII OM, 1960-1961

Etap:

Udowodnić, że jeżeli $a_1 \leq a_2 \leq a_3$ i $b_1 \leq b_2 \leq b_3$ , to

$ \frac{a_1+a_2+a_3}{3}\cdot\frac{b_1+b_2+b_3}{3} \leq\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{3} $

Rozwiązanie

Nierówność (1) zastąpimy nierównością jej równoważną

$ (a_1 + a_2 + a_3) (b_1 + b_2 + b_3) \leq 3 (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) $

tę zaś z kolei nierównością

$ (2) \qquad a_1b_2 + a_2b_1 + a_2b_3 + a_3b_2 + a_3b_1 + a_1b_3 < 2 (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3). $

Według założenia $a_1 - a_2 \leq 0$ , $b_1 -b_2 \leq 0$ , zatem

$ (a_1 - a_2) (b_1 - b_2) \geq 0. $

Stąd

$ a_1b_2+a_2b_1 \leq a_1b_1 + a_2b_2. $

analogicznie

$ a_2b_3+a_3b_2 \leq a_2b_2 + a_3b_3. $

$ a_3b_1+a_1b_3 \leq a_3b_3 + a_1b_1. $

Dodając powyższe $3$ nierówności stronami otrzymujemy nierówność (2) równoważną żądanej nierówności (1).

Uwaga 1. Można udowodnić twierdzenie ogólniejsze. Jeżeli

$ (3) \qquad \begin{split} a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n\\ b_1 \leq b_2 \leq \ldots \leq b_n \end{split} $

$ (4) \qquad \begin{split} \frac{a_1+a_2+\ldots +a_n}{n} \cdot \frac{b_1+b_2+\ldots +b_n}{n} \leq \frac{a_1b_1+a_2b_2+\ldots +a_nb_n}{n} \end{split} $

Istotnie, nierówność (4) jest równoważna nierówności

$ (5) \qquad \begin{split} (a_1+a_2+\ldots +a_n) \cdot (b_1+b_2+\ldots +b_n) \leq n(a_1b_1+a_2b_2+\ldots +a_nb_n) \end{split} $

którą łatwo udowodnić przez indukcję. Nierówność ta jest oczywiście prawdziwa, gdy $n = 1$ , albowiem $a_1b_1 \leq a_1b_1$ ; wystarczy zatem wykazać, że jeśli nierówność ta zachodzi, gdy $n \leq k$ , gdzie $k$ jest dowolnie obraną liczbą naturalną, to zachodzi również gdy $n = k + 1$ . Stwierdzamy to w sposób następujący:

$ \begin{split} (a_1+a_2&+\ldots +a_k+a_{k+1}) \cdot (b_1+b_2+\ldots +b_k+b_{k+1}) = \\ &=(a_1+a_2+\ldots +a_k) \cdot (b_1+b_2+\ldots +b_k)+ (a_1+a_2+\ldots +a_k)\cdot b_{k+1}+\\ &+a_{k+1} \cdot (b_1+b_2+\ldots +b_k+b_{k+1}) + a_{k+1}b_{k+1}=\\ &= (a_1+a_2+\ldots +a_k) \cdot (b_1+b_2+\ldots +b_k) + (a_1b_{k+1} + a_{k+1} b_{1}) + \\ &+ (a_2b_{k+1} + a_{k+1}b_{2}) +\ldots + (a_kb_{k+1} + a_{k+1}b_{k}) + a_{k+1}b_{k+1} \leq \\ & \leq k(a_1b_1+a_2b_2+\ldots +a_kb_k) + (a_1b_1 + a_{k+1} b_{k+1}) + (a_2b_2 + a_{k+1}b_{k+1}) + \\ &+\ldots + (a_kb_k + a_{k+1}b_{k+1}) + a_{k+1}b_{k+1} =\\ &=(k+1)(a_1b_1+a_2b_2+\ldots +a_kb_k+a_{k+1}b_{k+1}). \end{split} $

Uwaga 2. Niech będą dane liczby $a_i$ $b_i$ ( $i = 1, 2, \ldots,n$ ) spełniające warunek (3) i niech $i_1,i_2, \ldots , i_n$ będzie dowolną permutacją (czyli uszeregowaniem) liczb $1, 2, \ldots, n$ . Wówczas

$ (6) \qquad a_1b_{i_1} + a_1b_{i_1} + \ldots + a_nb_{i_n} < {a_1b_1+a_2b_2+\ldots +a_nb_n} $

Nierówność (6) wydaje się niemal oczywista; proponujemy, aby czytelnik uzasadnił ją dokładnie przy pomocy indukcji. Z nierówności (6) można wysnuć nierówność (5) bez stosowania indukcji:

$ \begin{split} (a_1+a_2+\ldots+a_n)(b_1+b_2+\ldots+b_n) = (a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)+\\ +(a_1b_2+a_2b_3+\ldots+a_nb_1)+(a_1b_3+a_2b_4+\ldots+a_nb_2)+\ldots+\\ (a_1b_n+a_2b_1+\ldots+a_nb_{n-1}) \leq n(a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n). \end{split} $

Uwaga 3. Zasadę indukcji matematycznej formułujemy zwykle w postaci następującej.

: Niech oznacza twierdzenie wypowiadające jakąś własność liczby naturalnej . Jeżeli
- [a)] $T (1)$ jest prawdą,
- [b)] z prawdziwości $T (n)$ wynika prawdziwość $T (n + 1)$ ,
to twierdzenie $T (n)$ jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej $n$ .

W uwadze 1 korzystaliśmy z następującej formy tej zasady:
: Niech oznacza twierdzenie wypowiadające jakąś własność liczby naturalnej . Jeżeli
- [ $\alpha$ )] $S (1)$ jest prawdą,
- [ $\beta$ )] z prawdziwości $S(1), S(2), \ldots, S (n)$ wynika prawdziwość $S (n + 1)$ ,
to twierdzenie $S (n)$ jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej $n$ .

Obie formy $Z_1$ i $Z_2$ są równoważne. Przypuśćmy bowiem, że słuszna jest zasada $Z_2$ i że twierdzenie $T (n)$ spełnia warunki a) i b). Jeżeli z prawdziwości $T (n)$ wynika prawdziwość $T (n + 1)$ , to tym bardziej z prawdziwości wszystkich twierdzeń $T (1), T (2), \ldots, T (n)$ wynika prawidłowość $T (n + 1)$ , twierdzenie $T (n)$ spełnia zatem warunki $\alpha$ ) i $\beta$ ), wobec czego na mocy zasady $Z_2$ twierdzenie $T (n)$ jest prawdziwe dla każdego naturalnego $n$ , zasada $Z_1$ jest więc słuszna.

Przyjmijmy odwrotnie, że słuszna jest zasada $Z_1$ i że jakieś twierdzenie $S (n)$ spełnia warunki $\alpha$ ) i $\beta$ ). Niech $T (n)$ oznacza twierdzenie orzekające, że zachodzi każde z twierdzeń $S (1), S (2), \ldots, S (n)$ . Jeśli $T (n)$ jest prawdą dla pewnego naturalnego $n$ , to na mocy $\beta$ ) prawdą jest $S (n + 1)$ , zatem również $T (n + 1)$ Spełnione są zatem warunki a) i b), wobec czego na mocy zasady $Z_1$ twierdzenie $T (n)$ jest prawdziwe dla każdego naturalnego $n$ ; tym samym prawdziwe jest $S (n)$ dla każdego naturalnego $n$ , a to znaczy, że zasada $Z_2$ jest słuszna.