XII OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XII OM, 1960-1961

Etap:

Na płaszczyźnie dany jest okrąg $K$ i punkt $A$ . Wykreślić taki okrąg $L$ przechodzący przez punkt $A$ , żeby soczewka będąca wspólną częścią obu kół miała daną średnicę $a$ i daną grubość $b$ .

Rozwiązanie

Ponieważ przy obrocie okręgu $L$ dokoła środka $O$ danego kręgu $K$ wielkość soczewki wyznaczonej przez okręgi $K$ i $L$ nie ulega zmianie, więc zadanie rozwiążemy, gdy narysujemy dowolny okrąg wyznaczający z danym okręgiem soczewkę o średnicy $a$ i grubości $b$ , a następnie obrócimy ten okrąg dokoła punktu $O$ w ten sposób, żeby obrócony okrąg przechodził przez punkt $A$ .

Konstrukcja jest wobec tego następująca. W danym okręgu (rys. 2) prowadzimy dowolną cięciwę $MN$ o długości $a$ . Ze środka $O$ danego okręgu prowadzimy prostopadłą do prostej $MN$ . Od punktu przecięcia $Q$ tej prostopadłej z danym okręgiem odmierzamy na półprostej $QO$ odcinek $QP = b$ . Prowadzimy symetralną odcinka $MP$ do przecięcia z prostą $PQ$ w punkcie $S$ . Jeżeli punkt $P$ znajduje się wewnątrz danego koła i leży po przeciwnej stronie prostej $MN$ niż punkt $Q$ , to koło o środku $S$ i promieniu $SP = r$ ma z danym kołem część wspólną o żądanych wymiarach. Środek $X$ poszukiwanego okręgu znajdziemy w przecięciu okręgu $A (r)$ o środku $A$ i promieniu $r$ z okręgiem $O(\varrho)$ o środku $O$ i promieniu $\varrho = OS = R + r - b$ .
Konstrukcja ta jest wykonalna, jeżeli 1° $a \leq 2R$ (warunek istnienia cięciwy $MN$ ), 2° $QT < b < 2R$ , gdzie $T$ jest środkiem $MN$ (warunek żeby punkt $P$ leżał wewnątrz okręgu $K$ na przedłużeniu $QT$ ), 3° $|R - b| \leq O A \leq R + 2r - b$ (warunek istnienia punktu wspólnego okręgów $A (r)$ i $O (\varrho)$ ).

Zbadamy, ile rozwiązań może mieć zadanie. Zauważmy, że punkt $Q$ może leżeć bądź z jednej, bądź z drugiej strony prostej $MN$ ; w jednym przypadku $QT = R - \sqrt{R^2-a^2}$ , w drugim $QT = R + \sqrt{R^2-a^2}$ . Zakładając, że powyższe warunki 1°, 2° i 3° są spełnione, mamy następujące możliwości.

[I.] ; wtedy istnieje tylko jeden punkt P spełniający warunek 2° i może zajść jeden z przypadków:
- [1)] $O A = |R - b|$ , zadanie ma jedno rozwiązanie
- [2)] $O A = R+2r-b$ , zadanie ma jedno rozwiązanie
- [3)] $|R - b| < OA < R + 2r - b$ , zadanie ma $2$ rozwiązania.
[II.] ; wtedy istnieją dwa położenia punktu , przy których warunek 2° jest spełniony. Istnieją wówczas możliwości:
- [1)] $O A = |R - b|=b-R$ , zadanie ma $2$ rozwiązania
- [2)] $O A = R+2r-b$ , zadanie ma $2$ rozwiązania
- [3)] $R - b < OA < R + 2r - b$ , zadanie ma $4$ rozwiązania.

Zwróćmy jeszcze uwagę na przypadek graniczny, gdy $b = 2R$ . Wówczas punkt $P$ leży na danym okręgu, a punkt $S$ pokrywa się z punktem $O$ , wobec czego $r = B$ , a warunek 3° przybiera postać $OA = B$ . Konstrukcja prowadzi wówczas do okręgu pokrywającego się z danym okręgiem; możemy go traktować jako rozwiązanie graniczne zadania.