XII OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXII OM, 1970-1971

Etap:

Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie

$ (1) \qquad y^2 - 1 = 2^x. $

Rozwiązanie

Jeżeli para liczb całkowitych $(x, y)$ spełnia równanie (1), to $x > 0$ (bo przy całkowitym $y$ liczba $y^2 - 1$ jest całkowita i różna od $1$ ); jednocześnie para $(x, - y)$ spełnia to równanie. Zadanie sprowadza się więc do rozwiązania równania (1) w liczbach naturalnych. Napiszemy je w postaci

$ (y +1)(y-1) = 2^x $

Jeśli liczby naturalne $x$ , $y$ spełniają to równanie, to $y + 1$ i $y - 1$ są naturalnymi czynnikami liczby $2^x$ , więc

$ y + 1 = 2^k, \quad y-1 = 2^l, $

gdzie $k$ i $l$ są liczbami całkowitymi nieujemnymi i $k > l$ . Odejmując te równości otrzymujemy $2^k - 2^l = 2$ , czyli

$ 2^l(2^{k-l}-1) = 2. $

Ponieważ $k - l > 0$ , więc $2^{k-l} - 1$ jest liczbą nieparzystą i z równości poprzedniej wynika, że

$ 2^l = 2, \quad 2^{k-l} -1 = 1 $

skąd otrzymujemy

$ l=1, \quad k = 2. $

Rozwiązaniami całkowitymi równania (1) są zatem pary $(3, 3)$ i $(3, -3)$ .

Uwaga. Wynik powyższy uzupełnimy rozważając równanie

$ (2) \qquad y^2 - 1 = n^x, $

gdzie $n$ jest liczbą całkowitą większą od $2$ . Rozwiązanie równania (2) w liczbach całkowitych sprowadza się, jak rozwiązanie równania (1), do poszukiwania rozwiązań w liczbach naturalnych.

Zauważmy najpierw, że rozwiązanie $(x, y)$ , w którym $x = 1$ a $y$ jest całkowite, istnieje tylko wtedy, gdy $n$ ma postać $k^2 -1$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą; wówczas $y = k$ lub $y = - k$ . Wykażemy, że równanie (2) nie ma takich rozwiązań całkowitych, w których $x > 1$ .

Wiemy z arytmetyki, że liczbę $n$ możemy przedstawić w postaci

$ n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \ldots p_r^{k_r}, $

gdzie $p_1, p_2, \ldots, p_r$ są liczbami pierwszymi, przy czym $p_1 < p_2 < \ldots < p_r$ , a $k_1, k_2, \ldots, k_r$ są liczbami naturalnymi". Pisząc równanie (2) w postaci

$ (y + 1) (y - 1) = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \ldots p_r^{k_r} $

widzimy, że jeżeli równanie to spełniają liczby naturalne $x > 1$ i $y$ , wówczas

$ (y + 1) = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \ldots p_r^{\alpha_r} $

$ (y - 1) = p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2} \ldots p_r^{\beta_r} $

gdzie $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ , $x$ są liczbami całkowitymi nieujemnymi, przy czym $\alpha_1 +\beta_1=k_1x, \alpha_2 +\beta_2=k_2x, \ldots, \alpha_r +\beta_r=k_rx$ . Odejmując te równości otrzymujemy

$ (3) \qquad p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\ldots p_r^{\alpha_r} - p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\ldots p_r^{\beta_r} = 2. $

Udowodnimy, że taka równość nie może zachodzić. Rozróżnimy $2$ przypadki.

a) $p_1 > 2$ . Wówczas jedna z liczb $\alpha_1$ , i $\beta_1$ musi być równa $0$ , gdyby bowiem było $\alpha > 0$ , $\beta_1 > 0$ , to lewa strona równości (3) byłaby podzielna przez $p_1$ , gdy tymczasem prawa strona nie jest podzielna przez $p_1$ W takim razie każda z liczb $\alpha_1$ i $\beta_1$ jest wielokrotnością $x$ i to samo dotyczy pozostałych wykładników $\alpha_i$ i $\beta_i$ . Równość (3) ma zatem postać

$ (4) \qquad q^x-s^x = 2, $

gdzie $q$ i s są liczbami naturalnymi. Ponieważ $x > 1$ , więc równość (4) możemy napisać w postaci

$ (5) \qquad (q - s) (q^{x-1} + q^{x-2}s + \ldots + s^{x-1}) = 2 $

Lecz $s \geq 1$ , $q >$ s, zatem $q \leq 2$ , wobec czego
Równość (5), zatem również (3), jest więc niemożliwa.

b) $p_1 = 2$ . Wówczas albo jedna z liczb $\alpha_1$ , $\beta_1$ równa się zeru, albo obie są równe $1$ , pozostałe wykładniki $\alpha_i$ i $\beta_i$ są wielokrotnościami $x$ . W pierwszym przypadku niemożliwość równości (3) uzasadniamy tak samo, jak powyżej w a). W drugim przypadku możemy obie strony równości (3) podzielić przez $p_1 = 2$ i otrzymamy równość

$ (3) \qquad p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\ldots p_r^{\alpha_r} - p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\ldots p_r^{\beta_r} = 2. $

którą można napisać w postaci

$ \nr{4a} q^x - s^x = 1 $

gdzie $x$ , $q$ , i $s$ są liczbami naturalnymi, przy czym $x > 1$ . Równość (4a) jest jednak niemożliwa, co stwierdzamy tak samo jak wyżej przy równości (5).