I MEMO - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

I MEMO, 2007

Dany jest okrąg $k$ oraz okręgi $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ , $k_4$ o środkach odpowiednio $O_1$ , $O_2$ , $O_3$ , $O_4$ leżących na okręgu $k$ . Dla $i=1,2,3,4$ okręgi $k_i$ oraz $k_{i+1}$ (gdzie $k_5=k_1$ ) przecinają się w punktach $A_i$ i $B_i$ w taki sposób, że $A_i$ leży na okręgu $k$ . Zakładamy, że punkty $O_1$ , $A_1$ , $O_2$ , $A_2$ , $O_3$ , $A_3$ , $O_4$ , $A_4$ leżą w takiej kolejności na okręgu $k$ i są parami różne. Wykazać, że czworokąt $B_1B_2B_3B_4$ jest prostokątem.

Rozwiązanie

Punkty $A_2$ i $B_2$ , jako punkty przecięcia okręgów $k_2$ i $k_3$ , są symet\-ryczne względem prostej $O_2O_3$ łączącej środki tych okręgów (rys. 1). Uzyskujemy stąd równość

$ \measuredangle A_2O_2O_3=\measuredangle B_2O_2O_3. (1) \qquad $

Ponadto łuki $A_2O_3$ i $O_3A_3$ okręgu $k$ mają jednakowe długości, więc oparte na nich kąty mają równe miary. Innymi słowy,

$ \measuredangle A_2O_2O_3=\measuredangle A_3O_2O_3. (2) \qquad $

Z równości (1) i (2) wnioskujemy, że punkty $O_2$ , $B_2$ , $A_3$ leżą na jednej prostej. Podobnie dowodzimy, że punkty $O_1$ , $B_4$ , $A_3$ leżą na jednej prostej. Rozpatrując teraz czworokąt $A_1O_2A_3O_1$ wpisany w okrąg $k$ stwierdzamy, że

$ (3) \qquad \measuredangle B_2O_2A_1+\measuredangle B_4O_1A_1= \measuredangle A_3O_2A_1+\measuredangle A_3O_1A_1=180^\circ. $

Na mocy zależności pomiędzy kątami środkowymi i wpisanymi otrzymujemy

$ \begin{split} \measuredangle B_2B_1A_1+\measuredangle B_4B_1A_1 &=(180^\circ-\measuredangle B_2A_2A_1)+(180^\circ-\measuredangle B_4A_4A_1)= \\ &=(180^\circ-\xfrac{1}{2}\measuredangle B_2O_2A_1)+ (180^\circ-\xfrac{1}{2}\measuredangle B_4O_1A_1)= \\ &=360^\circ-\xfrac{1}{2} (\measuredangle B_2O_2A_1+\measuredangle B_4O_1A_1). \end{split} $

W połączeniu z równością (3) prowadzi to do wniosku, że

$ \measuredangle B_2B_1A_1+\measuredangle B_4B_1A_1=270^\circ, $

a to oznacza, że $\measuredangle B_4B_1B_2=90^\circ$ . Rozumując analogicznie wykazujemy, że kąty $\measuredangle B_1B_2B_3$ , $\measuredangle B_2B_3B_4$ i $\measuredangle B_3B_4B_1$ są proste. Wynika stąd teza zadania.