XII OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XII OM, 1960-1961

Etap:

Dowieść, że jeżeli trzy liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ , które nie są wszystkie równe zerw, spełniają warunki

$ (1) \qquad a + b + c = abc $

$ (2) \qquad a^2 = bc $

$ a^2 \geq 3 $

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że jeżeli liczby $a$ , $b$ , $c$ spełniają warunki (1) i (2) i któraś z nich równa się zeru, to na mocy (2) któraś z pozostałych też jest równa zeru, a wobec tego na mocy warunku (1) trzecia z tych liczb też równa jest zeru. Zatem warunek, że nie wszystkie $3$ liczby $a$ , $b$ , $c$ są równe zeru jest w naszym zadaniu równoznaczny z warunkiem, że żadna z tych liczb nie równa się zeru.
Zastępując w równości (1) $bc$ przez $a^2$ napiszemy warunki (1) i (2) w postaci

$ \nr{1a} b + c = a^3 - a $

$ (2) \qquad bc = a^2 $

Z tych równości widzimy, że $b$ i $c$ są rzeczywistymi pierwiastkami równania kwadratowego.

$ (3) \qquad x^2 - (a^3 - a) x + a^2 = 0 $

o współczynnikach rzeczywistych. Wyróżnik tego równania jest zatem nieujemny, tj.:

$ (a^3 - a)^2 - 4a^2 \geq q, $

czyli

$ a^2 (a^2 + 1) (a^2 - 3) \geq 0 $

Ponieważ pierwsze dwa czynniki po lewej stronie są dodatnie, więc trzeci czynnik musi być nieujemny, tzn.

$ a^2 \geq 3. $

Uwaga. Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne: jeżeli liczba rzeczywista $a$ spełnia warunek $a^2 \geq 3$ , to istnieją liczby rzeczywiste spełniające warunki (1) i (2) i nie wszystkie równe zeru, gdyż wówczas $a \neq 0$ , a wyróżnik równania (3) jest nieujemny, wobec czego istnieją liczby b i c spełniające warunki (1a) i (2), więc też (1) i (2).