XII OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XII OM, 1960-1961

Etap:

Dany jest wypukły wycinek kołowy $AOB$ (O - środek koła). Poprowadzić taką styczną do łuku $AB$ , żeby jej odcinek zawarty w kącie $AOB$ był podzielony punktem styczności w stosunku $1 : 3$ .

Rozwiązanie

Mech $MN$ (rys. 6) będzie poszukiwanym odcinkiem, a $P$ - jego punktem styczności z danym łukiem $AB$ . W trójkącie $MON$ mamy dany stosunek odcinków $MP : PN =1:3$ , na jakie wysokość $OP$ dzieli podstawę $MN$ , oraz wielkość kąta $MON$ . Udowodnimy, że te dane określają kształt trójkąta $MON$ ), tzn. że trójkąt $M_1O_1N_1$ (rys. 7) o wysokości $O_1P_1$ w którym $M_1P_1 : P_1N_1 = MP : PN$ i $\measuredangle M_1O_1N_1 = \measuredangle MON$ , jest podobny do trójkąta $MON$ . Zbudujmy w tym celu przy podstawie $M_1N_1$ trójkąt $M_1O_1'N_1$ podobny do trójkąta $MON$ po tej stronie prostej $M_1N_1$ , po której leży punkt $O'_1$ . Wierzchołek $O'_1$ leży na półprostej $P_1O_1$ , gdyż w trójkącie $M_1O'_1N_1$ wysokość na bok $M_1N_1$ dzieli $M_1N_1$ w tym samym stosunku, co w podobnym doń trójkącie $MON$ . W takim razie punkt $O_1'$ musi się pokrywać z punktem $O_1$ . Gdyby bowiem punkt $O_1'$ leżał wewnątrz odcinka $P_1O_1$ to $\measuredangle M_1O_1'N_1$ byłby większy od $\measuredangle M_1O_1N_1$ gdyż kąty $M_1O'_1P_1$ i $P_1O'_1N_1$ byłyby wtedy większe odpowiednio od kątów $M_1O_1P_1$ i $P_1O_1N_1$ jako kąty zewnętrzne trójkątów $M_1O_1O_1'$ i $N_1O_1O_1'$ . Podobnie, gdyby punkt $O_1'$ leżał na przedłużeniu odcinka $P_1O_1$ to kąt $M_1O_1'N$ byłby mniejszy od kąta $M_1O_1N_1$ . Zatem istotnie trójkąt $M_1O_1N_1$ jest podobny do trójkąta $MON$ .

Zadanie sprowadza się więc do zbudowania trójkąta $M_1O_1N_1$ .

Na prostej odmierzamy dowolnie kolejne odcinki $M_1P_1$ i $P_1N_1 = 3 M_1P_1$ , następnie wykreślamy w punkcie $P_1$ prostopadłą do prostej $M_1N_1$ oraz budujemy łuk o cięciwie $M_1N_1$ mieszczący kąt równy kątowi $AOB$ ; w przecięciu obu tych linii znajdujemy punkt $O_1$ . Wreszcie odmierzamy przy ramieniu $OA$ wewnątrz kąta $AOB$ kąt równy kątowi $M_1O_1P_1$ lub kątowi $N_1O_1P_1$ ; drugie ramię tego kąta przetnie łuk $AB$ w poszukiwanym punkcie $P$ . Zadanie ma zawsze dwa rozwiązania.