XII OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XII OM, 1960-1961

Etap:

W okrąg wpisano dwa trójkąty foremne. Wierzchołki $A$ , $B$ , $C$ jednego trójkąta następują po sobie na okręgu w tym samym kierunku, co wierzchołki $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ drugiego trójkąta. Proste $AB$ i $A_1B_1$ przecinają się w punkcie $P$ , proste $BC$ i $B_1C_1$ w punkcie $M$ , a proste $CA$ i $C_1A_1$ w punkcie $N$ . Dowieść, że punkty $M$ , $N$ , $P$ są wierzchołkami trójkąta foremnego.

Rozwiązanie

Obróćmy całą figurę (rys. 8) dokoła środka $O$ danego okręgu o $120^\circ$ . Punkty $A$ , $B$ , $C$ przejdą odpowiednio na miejsca punktów $B$ , $C$ , $A$ , a punkty $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ — na miejsca punktów $B_1$ , $C_1$ , $A_1$ . Punkt przecięcia prostych $AB$ i $A_1B_1$ , tj. punkt $P$ , przejdzie na miejsce punktu przecięcia prostych $BC$ i $B_1C_1$ , tj. na punkt $M$ . Podobnie punkt $M$ przejdzie na miejsce punktu $N$ , a punkt $N$ - na miejsce punktu $P$ . Wobec tego odcinki $MN$ , $NP$ , $PM$ zajmą odpowiednio miejsca odcinków $NP$ , $PM$ , $MN$ , zatem $MN = NP = PM$ , tzn. trójkąt $MNP$ jest foremny.