XII OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

XII OM, 1960-1961

Etap:

Dowieść, że gdy $n$ jest liczbą naturalną, to liczba

$ 2^{4^n} + 5 $

jest podzielna przez $21$ .

Rozwiązanie

Zastosujemy metodę indukcji zupełnej.

Gdy $n = 1$ , twierdzenie jest prawdziwe, gdyż $2^4 + 5 = 21$ . Przypuśćmy, że jest ono prawdziwe dla pewnej wartości $n$ , tzn. że $2^{4^n} + 5 = 21k$ , gdzie $k$ jest pewną liczbą całkowitą. Wówczas $2^{4^n} = 21 k - 5$ , wobec czego

$ \begin{split} 2^{4^{n+1}}&=2^{4^{n}\cdot4}=(21k-5)^4=\\ &=(21k)^4-4(21k)^3 \cdot 5 + 6(21 k)^2 5^2 -4(21 k) 5^3 + 5^4 = 21 \cdot m + 5^4, \end{split} $

gdzie $m$ jest pewną liczbą całkowitą, zatem

$ 2^{4^{n+1}} + 5 = 21 m + 5^4 + 5 = 21 m + 630. $

Liczba $2^{4^{n+1}}+ 5$ jest więc podzielna przez $21$ . Stąd wynika przez indukcję, że liczba $2^{4^n}$ jest podzielna przez $21$ dla każdego naturalnego $n$ .

Uwaga. Rozwiązanie zadania można by ułożyć prościej, posługując się pojęciem kongruencji; proponujemy to jako ćwiczenie. Wystarczą tu wiadomości o kongruencjach podane w książce Zadania z Olimpiad Matematycznych, tom I, wydanie 2, Warszawa 1960. Dalsze wiadomości można znaleźć w podręczniku uniwersyteckim W. Sierpiński - Arytmetyka teoretyczna, wydanie 2, Warszawa 1959.