XII OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XII OM, 1960-1961

Etap:

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$ ( $AB = AC$ ). Zbudować taki trójkąt równoramienny $A_1B_1C_1$ ( $A_1B_1 = A_1C_1$ ), żeby trójkąty $AB_1C_1$ , $A_1BC_1$ i $A_1B_1C$ były: a) położone na zewnątrz trójkąta $A_1B_1C_1$ , b) równoramienne o podstawach $B_1C_1$ $C_1A_1$ i $A_1B_1$ c) podobne do trójkąta $A_1B_1C_1$ .

Rozwiązanie

W zadaniach konstrukcyjnych często bywa dogodnie stosować metodę zagadnienia odwrotnego, polegającą na tym, że zamiast budować figurę $G$ , gdy dana jest figura $F$ , budujemy figurę $F$ , gdy dana jest figura $G$ , a następnie rozważając położenie wzajemne figur $F$ i $G$ wnioskujemy, jak wykonać konstrukcję w kierunku odwrotnym. W naszym zadaniu figurą $F$ jest trójkąt $ABC$ , a figurą $G$ - trójkąt $A_1B_1C_1$ .

Narysujmy trójkąt równoramienny $A_1B_1C_1$ (rys. 9), a następnie na zewnątrz tego trójkąta trójkąty równoramienne $AB_1C_1$ $A_1BC_1$ i $A_1B_1C$ o podstawach $B_1C_1$ , $C_1A_1$ , $A_1B_1$ podobne do trójkąta $A_1B_1C_1$ . Otrzymana figura jest symetryczna względem prostej $AA_1$ , więc trójkąt $ABC$ jest równoramienny ( $AB = AC$ ).

Zauważmy, że punkty $B$ , $A_1$ , i $C$ leżą na jednej prostej, gdyż $3$ kąty ostre, jakie powstały przy wierzchołku $A_1$ są odpowiednio równe kątom trójkąta $A_1B_1C_1$ , więc ich suma wynosi $180^\circ$ . Prosta $BC$ jest prostopadła do osi symetrii figury, tj. równoległa do prostej $B_1C_1$ gdyż jest symetryczna do samej siebie. Trójkąt $AB_1C_1$ jest przystający do trójkąta $A_1B_1C_1$ , gdyż jest do niego podobny i ma z nim wspólną podstawę Prosta $B_1C_1$ przechodzi więc przez środek wysokości $AA_1$ trójkąta $ABC$ , odległości $B_1C$ i $C_1B$ są równe połowie $BC$ .

Stąd wysnuwamy rozwiązanie zadania (rys. 10), Wyznaczamy środek $A_1$ boku $BC$ danego trójkąta ABC, rysujemy symetralną m odcinka $AA_1$ oraz zataczamy z punktów $B$ i $C$ jako środków okręgi o promieniu równym $BA_1$ . Jeżeli pierwszy okrąg przecina prostą $m$ w punkcie $C_1$ ; to drugi przecina ją w punkcie $B_1$ symetrycznym do $C_1$ i trójkąt $A_1B_1C_1$ spełnia warunki zadania, co jest widoczne z konstrukcji. Rozwiązanie istnieje, jeżeli wykreślone okręgi mają punkty wspólne z prostą to, tzn. gdy $h < a$ , gdzie $a = BC$ , $h = AA_1$ . Jeżeli $h < a$ , zadanie ma $2$ rozwiązania; jedno jest trójkątem ostrokątnym, drugie - rozwartokątnym; jeżeli $h = a$ , jest tylko jedno rozwiązanie, które jest trójkątem prostokątnym.

Gdy dany trójkąt jest równoboczny, jedno rozwiązanie jest utworzone przez środki boków danego trójkąta, drugie jest trójkątem o kącie $120^\circ$ .