XII OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XII OM, 1960-1961

Etap:

Dowieść, że żadna liczba postaci $2^n$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną, nie jest sumą dwóch lub więcej kolejnych liczb naturalnych.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że twierdzenie wypowiedziane w tekście zadania nie jest prawdziwe i że zachodzi równość

$ k + (k + 1) + \ldots + (k + r) = 2^n, $

w której $k$ , $r$ , $n$ oznaczają liczby naturalne. Według wzoru na sumę wyrazów postępu arytmetycznego, otrzymujemy stąd

$ (1) \qquad (2k + r) (r+ 1) = 2^{n+1}. $

Każda z liczb naturalnych $2k + r$ i $r + 1$ jest większa od $1$ . Różnica tych liczb $(2k + r) - (r + 1) = 2k - 1$ jest liczbą nieparzystą, więc jedna z nich jest nieparzysta. Lewa strona równości (1) jest wobec tego podzielna przez liczbę nieparzystą większą od jedności, gdy tymczasem prawa jej strona jako potęga liczby $2$ nie ma takiego dzielnika. Równość (1) jest więc niemożliwa.

Uwaga. Każda liczba całkowita jest sumą kolejnych liczb całkowitych, na przykład :

$ 4 = (- 3) + (- 2) + (- 1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4. $