XII OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XII OM, 1960-1961

Etap:

Dowieść, że wszystkie wysokości czworościanu przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy kwadratów krawędzi przeciwległych są równe.

Rozwiązanie

Rozwiązanie zadania ułatwi nam spostrzeżenie, że odcinek łączący środki dwóch krawędzi czworościanu należących do tej samej ściany równa się połowie trzeciej krawędzi tej ściany (i jest do niej równoległy). Oznaczmy środki krawędzi czworościanu $ABC$ , jak wskazuje rys. 13 literami $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ .

Dowiedziemy najpierw, że sumy kwadratów krawędzi przeciwległych czworościanu $ABCD$ są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odcinki $MP$ , $NQ$ i $RS$ , tj. odcinki łączące środki przeciwległych krawędzi, są równe. Istotnie, równość

$ AC^2 + BD^2 = AD^2 + BC^2 $

jest równoważna równości

$ MN^2 + NP^2 = MS^2 + SP^2 $

ta zaś z kolei jest równoważna równości

$ MP^2 + NQ^2 = MP^2 + RS^2, $

gdyż czworokąty $MNPQ$ i $MRPS$ są równoległobokami, więc w każdym z nich suma kwadratów przekątnych równa się podwojonej sumie kwadratów dwóch przyległych boków. Wreszcie tę ostatnią równość możemy zastąpić równością

$ NQ = RS; $

podobnie równość $AC^2 + BD^2 = AB^2 + CD^2$ jest równoważna równości $MP = RS$ .

Równość odcinków $MP$ , $NQ$ i $RS$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy równoległoboki $MNPQ$ , $MRPS$ , $NRQS$ są prostokątami, a więc wtedy i tylko wtedy, gdy każde dwie przeciwległe krawędzie czworościanu są prostopadłe.

Udowodnimy następnie, że jeżeli dwie krawędzie przeciwległe czworościanu są prostopadłe, to wysokości czworościanu poprowadzone z końców jednej z tych krawędzi przecinają się.

Niech np. $AB \bot DC$ (rys. 14). Poprowadźmy prostopadłą $CK$ do $AB$ ; ponieważ $CK \bot AB$ i $CD \bot AB$ , więc prosta $AB$ jest prostopadła do płaszczyzny $CKD$ . Stąd wynika, że wysokości $DH$ i $CG$ trójkąta $CKD$ są wysokościami czworościanu, gdyż prosta $DH$ jest prostopadła do $CK$ i do $AB$ , zatem jest prostopadła do płaszczyzny $ABC$ i tak samo prosta $CG$ jest prostopadła do płaszczyzny $ABD$ .

Odwrotnie, jeśli wysokości $DH$ i $CG$ czworościanu przecinają się, to prosta $AB$ jest prostopadła do płaszczyzny, w której leżą $DH$ i $CG$ , gdyż $AB \bot DH$ i $AB \bot CG$ , a w takim razie prosta $AB$ jest też prostopadła do prostej $CD$ .

A zatem prostopadłość każdej pary krawędzi przeciwległych czworościanu zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy każde dwie wysokości czworościanu przecinają się.

Wykażemy wreszcie, że jeżeli każde dwie wysokości czworościanu przecinają się, to wszystkie cztery wysokości przechodzą przez jeden punkt.

Przypuśćmy, że wysokości $h_B$ i $h_C$ czworościanu poprowadzone z wierzchołków $B$ i $C$ leżą w płaszczyźnie $\alpha$ , a wysokości $h_C$ i $h_A$ poprowadzone z wierzchołków $C$ i $A$ - w płaszczyźnie $\beta$ . Wówczas punkt przecięcia wysokości $h_A$ i $h_B$ leży na prostej przecięcia płaszczyzn $\alpha$ i $\beta$ , tzn. na prostej $h_C$ ; tak samo stwierdzamy, że leży on na prostej $h_D$ , zatem wszystkie wysokości przecinają się w jednym punkcie.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Uwaga. Czworościan, w którym wysokości przechodzą przez jeden punkt (ortocentr), nazywa się czworościanem ortocentrycznym. W powyższym dowodzie stwierdziliśmy, że można go również zdefiniować przez każdą z następujących własności:

1) prostopadłość krawędzi przeciwległych,

2) równość odcinków łączących środki krawędzi przeciwległych,

3) przecinanie się każdych dwóch wysokości.

Dodamy do tego jeszcze własność czwartą. Na każdym czworościanie można opisać równoległościan, tzn. zbudować taki równoległościan, że krawędzie czworościanu są przekątnymi ścian równoległościanu (rys. 15). Czworościan jest ortocentryczny wtedy i tylko wtedy, gdy ma własność:

4) równoległościan opisany na czworościanie ma wszystkie krawędzie równe (tzn. ściany jego są rombami).