XII OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XII OM, 1960-1961

Etap:

Dowieść, że dla dowolnych kątów $x$ , $y$ , $z$ zachodzi równość

$ (1) \qquad \begin{split} &1 - \cos^2 x - \cos^2 y - \cos^2 z + 2 \cos x \cos y \cos z=\\ &\qquad =4 \sin \frac{x+y+z}{2} \sin \frac{x+y-z}{2} \sin \frac{x-y+z}{2} \sin\frac{-x-y+z}{2}. \end{split} $

Rozwiązanie

Przekształcamy prawą stronę równości (1) stosując najpierw wzór $2 \sin \alpha \sin \beta = \cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)$ , a następnie wzory na $\cos (\alpha + \beta)$ i $\cos (\alpha - \beta)$ :

$ \begin{split} & 4 \sin \frac{x+y+z}{2} \sin \frac{x+y-z}{2} \sin \frac{x-y+z}{2} \sin\frac{-x-y+z}{2}= \\ &\qquad\begin{split} & = [\cos z - \cos (x + y)] [\cos (x - y) - \cos z] = \cos z \cos (x - y) -\\ & - \cos^2 z - \cos (x + y) \cdot \cos (x - y) + \cos (x + y) \cos z = \\ & = \cos x \cos y \cos z + \sin x \sin y \cos z - \cos^2 z - \cos^2 x \cos^2 y + \sin^2 x \sin^2 y + \\ & + \cos x \cos y \cos z - \sin x \sin y \cos z = 2 \cos x \cos y \cos z - \\ & - \cos^2 z - \cos^2 x \cos^2 y \sin^2 x \sin^2 y. \end{split} \end{split} $

Po podstawieniu w ostatnim wyrażeniu $\sin^2 x \sin^2 y = (1 - \cos^2 x) (1 - \cos^2 y)$ , po otwarciu nawiasów i redukcji otrzymujemy wyrażenie równe lewej stronie równości (1).