I MEMO - Zadanie 4

Znaleźć wszystkie pary $(x,y)$ liczb całkowitych dodatnich spełniających równanie

$ x!+y!=x^y\,. $

Rozwiązanie

Rozwiązanie podzielimy na dwa przypadki: $x\le y$ oraz $x>y$ .

1. $x\le y$ .

Ponieważ $x!+y!\ge 1+1=2$ , więc liczba $x$ nie może być równa 1. Ponadto liczby $x!$ i $y!$ są podzielne przez $x-1$ , co oznacza, że

$ (1) \qquad x-1\,|\,x!+y!=x^y\,. $

Jednakże liczby $x-1$ i $x$ nie mają wspólnych czynników pierwszych; to samo można wobec tego powiedzieć o liczbach $x-1$ i $x^y$ . Podzielność (1) jest więc możliwa jedynie w przypadku $x-1=1$ , czyli $x=2$ .

Pozostaje zbadać równanie $2+y!=2^y$ . Równanie to nie ma rozwiązań dla $y\ge 4$ , gdyż wówczas liczby $y!$ oraz $2^y$ są podzielne przez 4, nie mogą zatem różnić się o 2. Obliczamy jeszcze, że

$ 2+1!=3\ne 2=2^1, \qquad 2+2!=4=2^2, \qquad 2+3!=8=2^3. $

Widzimy, że liczby $y=2$ i $y=3$ mają żądaną własność, a liczba $y=1$ - nie.

2. $x>y$ .

W tej sytuacji otrzymujemy równanie

$ x^y=x!+y!=y!\cdot[(y+1)(y+2)\ldots(x-1)x+1]. $

Oznaczmy $L=(y+1)(y+2)\ldots(x-1)x+1$ ; liczba $L$ jest więc dzielnikiem liczby $x^y$ . Z nierówności $L>1$ wynika, że liczby $L$ i $x$ mają wspólny dzielnik pierwszy $p$ . Z drugiej strony liczba $L-1$ jest podzielna przez $x$ i tym bardziej jest podzielna przez $p$ . Stąd wniosek, że liczby $L-1$ i $L$ są podzielne przez $p$ , co nie może mieć miejsca.

Otrzymana sprzeczność wskazuje, że w tym przypadku nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: Rozwiązaniami zadania są pary $(x,y)=(2,2)$ i $(x,y)=(2,3)$ .