XII OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XII OM, 1960-1961

Etap:

Znaleźć cztery ostatnie cyfry liczby $5^{5555}$ .

Rozwiązanie

\spos{1} Obliczymy kilka kolejnych potęg liczby $5$ poczynając od $5^4$ :

$<br /> 5^4 = 625,\ 5^5 = 3125,\ 5^6 = 15625,\ 5^7 = 78125,\ 5^8 = 390625 \ldots<br />$

Okazało się, że $5^8$ ma te same cztery ostatnie cyfry co $5^4$ , wobec czego to samo dotyczy liczb $5^9$ i $5^5$ itd., tzn. poczynając od $5^4$ dwie potęgi liczby $5$ , których wykładniki różnią się o wielokrotność $4$ , mają te same cztery końcowe cyfry. Liczba $5^{5555} = 5^{4\cdot 1388+3}$ ma zatem na końcu te same $4$ cyfry co liczba $5^7$ , tj. cyfry $8125$ .