XII OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XII OM, 1960-1961

Etap:

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ spełniają nierówności

$(1) \qquad a + b + c> 0,$

$(2) \qquad ab + bc + ca > 0,$

$(3) \qquad abc > 0,$

to $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ .

Rozwiązanie

Z nierówności (1) i (2) można wywnioskować, że co najmniej dwie spośród liczb $a$ , $b$ , $c$ są dodatnie. Albowiem z nierówności (1) wynika najpierw, że co najmniej jedna z tych liczb jest dodatnia, niech na przykład $c > 0$ . Otóż dla dowolnych $a$ i $b$

$ (a + b)^2 \geq 2ab $

a z nierówności (2) wynika, że

$ ab > - (a + b) c, $

wobec czego

$ (a + b)^2 > - 2(a+b) c; $

przenosząc wyrazy na jedną stronę otrzymujemy stąd

$ (a + b) (a + b + 2c) > 0, $

ponieważ $c > 0$ , więc $a + b + 2c = (a + b + c) + c > 0$ , zatem z powyższej nierówności wynika, że

$ a + b > 0. $

W takim razie przynajmniej jedna z liczb $a$ i $b$ , na przykład $b$ , jest dodatnia.

Jeżeli zaś dwie z liczb $a$ , $b$ , $c$ są dodatnie, to na mocy nierówności (3) trzecia z nich musi być również dodatnia.

Uwaga. Twierdzenie udowodnione wyżej jest przypadkiem szczególnym twierdzenia: Jeżeli dla pewnych wartości $a_1, a_2, \ldots, a_n$ wszystkie podstawowe funkcje symetryczne (patrz zadanie 10) mają wartości dodatnie, to wszystkie wartości $a_1, a_2, \ldots, a_n$ są dodatnie.