XII OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XII OM, 1960-1961

Etap:

III

Dowieść, że każda liczba naturalna, która nie jest całkowitą potęgą liczby $2$ , jest sumą dwóch lub więcej kolejnych liczb naturalnych.

Rozwiązanie

Niech $N$ będzie liczbą naturalną, która nie jest całkowitą potęgą dwóch, wobec czego

$ N = 2^n (2m + 1), $

gdzie $m$ i $n$ są liczbami całkowitymi, przy czym $m \geq 1$ , $n \geq 0$ .

Mamy dowieść, że istnieją takie liczby całkowite $a$ i $k$ , że

$ (1) \qquad a \geq 1,\ k \geq 2 $

oraz

$ a + (a + 1) + \ldots (a + k- 1) = N, $

czyli

$ (2) \qquad (2a + k - 1) k = 2^{n+1}(2m + 1). $

Warunek (2) jest spełniony, jeżeli $2a + k - 1 = 2^{n+1}$ , $k = 2m + 1$ , tzn. jeżeli

$ (3) \qquad a = 2^n - m, \ k = 2m + 1. $

Rozwiązanie $(a, k)$ równania (2), określone wzorami (3), czyni zadość warunkowi (1) tylko wtedy, gdy $a > 0$ , tj. gdy

$ (4) \qquad 2^n > m. $

Warunek (2) jest spełniony również wtedy, gdy $2a + k - 1 = 2m + 1$ , $k = 2^{n+1}$ , tzn. gdy

$ (5) \qquad a = m + 1 - 2^n,\ k = 2^{n+1}. $

Liczby $a$ i $k$ określone wzorami (5) są całkowite; warunek (1) spełniają one tylko wtedy, gdy

$ (6) \qquad 2^n \leq m . $

Ponieważ jeden z warunków (4) i (6) zawsze jest spełniony, więc równanie (2) ma zawsze rozwiązanie całkowite $(a, k)$ czyniące zadość nierównościom (1).

Gdy na przykład $N = 30$ , to otrzymamy rozwiązanie $a = 6$ , $k= 4$ i $N = 6 + 7 + 8 + 9$ , gdy $N = 225$ , to $a = 112$ , $k = 2$ , $N = 112 + 113$ .

Uwaga. Zastanowimy się nad tym, czy wyżej znaleziony rozkład liczby naturalnej N na sumę kolejnych liczb naturalnych jest jedynym takim rozkładem.

Przypuśćmy, jak poprzednio, że liczby całkowite a i k spełniają warunki (1) i (2). Możliwe są tylko dwa następujące przypadki:

A) liczba $k$ jest parzysta, wobec czego liczba $2a + k - 1$ jest nieparzysta.

Z równania (2) wynika, że $k$ jest podzielne przez $2n+1$ , zatem

$ (7) \qquad k = 2^{n+1} (2p + 1) $

$ (8) \qquad 2a + k-l = 2q+1,\textrm{ zatem } a = q+1 - 2^n(2p + 1) $

oraz

$ (9) \qquad 2m + 1 = (2p + 1) (2q + 1) $

gdzie $p$ i $q$ są liczbami całkowitymi nieujemnymi. Ponieważ $a \geq 1$ , więc z równości (8) wynika, że

$ (10) \qquad q \geq 2^n (2p + 1) $

Odwrotnie, jeżeli liczba $2m + 1$ ma postać (9), gdzie $p$ i $q$ są liczbami całkowitymi, przy czym $p \geq 0$ , a $q$ spełnia warunek (10), to liczby $a$ i $k$ obliczone według wzorów (7) i (8) określają rozkład liczby $N$ na sumę kolejnych liczb naturalnych. Jeżeli przy tym $p = 0$ , jest to ten sam rozkład, który znaleźliśmy poprzednio [wzory (5)].

B) Liczba $k$ jest nieparzysta, zatem $2a + k - 1$ jest podzielne przez $2n+1$ . Wówczas

$ (11) \qquad k = 2q + 1 $

$ (12) \qquad 2a + k - 1 = 2^{n+1} (2p + 1), \textrm{ zatem } a = 2^n (2p + 1)-q, $

skąd, jak poprzednio,

$ 2m + 1 = (2p + 1) (2q + 1), $

przy czym liczby całkowite $p$ i $q$ czynią zadość nierównościom

$ (13) \qquad q>0, \quad q>2n(2p+ 1), $

gdyż $k > 1$ , $a > 0$ .

Odwrotnie, jeżeli liczba $2m + 1$ ma postać (9), gdzie $p$ i $q$ są liczbami całkowitymi spełniającymi warunki (13), to liczby $a$ i $k$ obliczone według wzorów (11) i (12) określają żądany rozkład liczby $N$ . Jeżeli przy tym $p = 0$ , jest to rozkład znaleziony poprzednio [wzory (3)].

Uzyskaliśmy wynik następujący. Jeżeli liczba $2m + 1$ jest liczbą pierwszą, to istnieje tylko jeden rozkład liczby $N$ na sumę kolejnych liczb naturalnych. Jest to znaleziony poprzednio rozkład określony wzorami (3), bądź wzorami (5), zależnie od tego, czy zachodzi nierówność (4) czy też nierówność (6). Jeżeli zaś $2m + 1$ jest liczbą złożoną, to oprócz tego są jeszcze inne rozkłady. Mianowicie każdemu rozkładowi liczby $2m + 1$ na $2$ czynniki nierówne i większe od $1$ odpowiadają dwa rozkłady liczby $N$ . Łatwo wykazać (co proponujemy czytelnikowi), że albo jeden z tych rozkładów odpowiada przypadkowi A), a drugi - przypadkowi B), albo też oba należą do przypadku B). Wreszcie, gdy istnieje rozkład liczby $2m + 1$ na dwa czynniki równe, tzn. gdy jest ona kwadratem liczby całkowitej, to poza już wymienionymi rozkładami istnieje jeszcze jeden rozkład należący do przypadku B).
Na przykład:

$ 30=6 + 7 + 8 + 9 = 4+ 5+ 6 + 7 + 8 = 9 + 10 + 11, $

$ \begin{split} 225 &= 112 + 113 = 74 + 75 + 76 = 43 + 44 + 45 + 46 + 47 =\\ &= 35 + 36 + 37 + 38 + 39 + 40 =\\ &= 21 + 22 + + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 =\\ &= 18 + 19 + \ldots + 26 + 27 = 8 + 9 + \ldots + 21 + 22. \end{split} $