XII OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XII OM, 1960-1961

Etap:

Dowieść, że jeżeli $a + b = 1$ , to

$ a^5 + b^5 \geq \frac{1}{16} $

Rozwiązanie

\spos{I} Jeżeli $a = \frac{1}{2} + d$ , to $b = \frac{1}{2} - d$

$ a^5 = \left(\frac{1}{2} + d \right)^2 = \frac{1}{2^5} + 5 \frac{d}{2^4} + 10 \frac{d^2}{2^3} + 10 \frac{d^3}{2^2} + 5 \frac{d^4}{2} + d^5, $

$ b^5 = \left(\frac{1}{2} - d \right)^2 = \frac{1}{2^5} - 5 \frac{d}{2^4} + 10 \frac{d^2}{2^3} - 10 \frac{d^3}{2^2} - 5 \frac{d^4}{2} + d^5 $

zatem

$ a^5+b^5 =\frac{2}{2^5} + 2 \cdot 10 \frac{d^2}{2^3} + 2 \cdot 5 \frac{d^4}{2}. $

Ponieważ $d^2 \geq 0$ i $d^4 \geq 0$ , otrzymamy stąd

$ a^5+b^5 \geq \frac{2}{2^5}. $

Uwaga. Udowodnione wyżej twierdzenie jest przypadkiem szczególnym twierdzenia: Jeżeli $a + b = 1$ , to

$ (1) \qquad a^n+b^n \geq \frac{1}{2^{n-1}} (n \textrm{ - liczba naturalna}) $

Dowód tego twierdzenia łatwo poprowadzić powyższym sposobem I. Można go również poprowadzić wzorując się na sposobie II i stosując następujące rozumowanie indukcyjne. Gdy $n = 1$ , twierdzenie (1) jest prawdziwe. Przypuśćmy, że jest ono prawdziwe dla każdej wartości $n$ mniejszej, od pewnej liczby naturalnej $m$ . Dowiedziemy, że jest ono prawdziwe i wtedy, gdy $n$ równa się $m$ . Jeżeli $m$ jest parzyste, np. $m = 2k$ , to $k < m$ , zatem

$ \begin{split} a^m+b^m&=a^{2k}+b^{2k}=(a^k+b^k)^2- 2(ab)^k \geq \left( \frac{1}{2^{k-1}} \right)^2 - \frac{2}{2^{2k}}=\\ &=\frac{1}{2^{2k-1}}=\frac{1}{2^{m-1}} \end{split} $

Jeżeli zaś $m$ jest nieparzyste, np. $m = 2k + 1$ , to $m = k + (k + 1)$ , gdzie $k <m$ i $k+1<m$ , zatem

$ \begin{split} a^m + b^m &= a^{2k+1} + b^{2k+1} = (a^k + b^k) (a^{k-1}+b^{k+1}) - (ab)^k (a + b) \geq\\ &\geq \frac{1}{2^{k-1}} \cdot \frac{1}{2^k} -\frac{1}{2^{2k}}=\frac{1}{2^{2k}}=\frac{1}{2^{m-1}}. \end{split} $