XII OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XII OM, 1960-1961

Etap:

Dowieść, że jeżeli przekrój czworościanu płaszczyzną jest równoległobokiem, to połowa jego obwodu zawiera się między długością najmniejszej a długością największej krawędzi tego czworościanu.

Rozwiązanie

Niech równoległobok $MNPQ$ będzie przekrojem płaskim czworościanu $ABCD$ . Płaszczyzna $MNPQ$ jest oczywiście różna od płaszczyzn ścian czworościanu i każdy bok równoległoboku leży na innej ścianie. Przypuśćmy, że boki równolegle $MN$ i $QP$ leżą na ścianach $ABC$ i $BCD$ ; są one wtedy równoległe do krawędzi $BC$ , według której ściany te graniczą ze sobą, a boki $MQ$ i $NP$ są równoległe do krawędzi $AD$ (rys. 19).

Stosując twierdzenie Talesa do trójkątów $AMN$ i $ABC$ oraz do trójkątów $BMQ$ i $BAD$ otrzymujemy

$ \frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB} \textrm{ oraz } \frac{MQ}{AD} = \frac{MB}{AB}. $

Stąd

$ \frac{MN}{BC} + \frac{MQ}{AD} = \frac{AM + MB}{AB} = 1. $

Przypuśćmy, że $BC \leq AD$ ; w takim razie z powyższej równości wynika, że

$ \frac{MN}{AD} + \frac{MQ}{AD} \leq 1, \textrm{ a } \frac{MN}{BC} + \frac{MQ}{BC} \geq 1, $

zatem

$ BC \leq MN + MQ \leq AD. $

Jeżeli $a$ oznacza długość najmniejszej, a $b$ - długość największej przekątnej czworościanu, to $BC \geq a$ , a $AD \leq b$ i z nierówności powyższej wynika, że

$ a \leq MN + MQ \leq b, $

czego należało dowieść.