XII OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XII OM, 1960-1961

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli każdy bok trójkąta jest mniejszy niż $1$ , to jego pole jest mniejsze niż $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Rozwiązanie

W każdym trójkącie przynajmniej jeden kąt nie przewyższa $60^\circ$ . Przypuśćmy, że w trójkącie $ABC$ o bokach mniejszych od jedności jest $\measuredangle C \leq 60^\circ$ . Wówczas

$<br /> \textrm{pole }ABC = \frac{1}{2} AC \cdot BC \sin \measuredangle C <<br /> \frac{1}{2} \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4}.<br />$