XII OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XII OM, 1960-1961

Etap:

Cztery proste przecinające się w sześciu punktach tworzą cztery trójkąty. Dowieść, że okręgi opisane na tych trójkątach mają punkt wspólny.

Rozwiązanie

Cztery proste przecinające się w $6$ punktach tworzą figurę zwaną czworobokiem zupełnym (por. Zadania z Olimpiad Matematycznych, tom I, Warszawa 1960. Zadanie 79). Oznaczmy te punkty literami $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ (rys. 21) w taki sposób, że na danych prostych leżą odpowiednio trójki punktów $(A, B, C)$ , $(A, D, E)$ , $(C, F, D)$ , $(B, F, E)$ , przy czym punkt $B$ leży wewnątrz odcinka $AC$ , punkt $D$ - wewnątrz odcinka $AE$ , a punkt $F$ jest wspólnym punktem wewnętrznym odcinków $CD$ i $BE$ .

Na tej figurze są trójkąty: $ABE$ , $BCF$ , $ACD$ i $DEF$ ; niech $K_1$ , $K_2$ , $K_3$ , $K_4$ oznaczają odpowiednio okręgi opisane na tych trójkątach. Okrąg $K_2$ przechodzi przez punkt $F$ leżący wewnątrz okręgu $K_1$ i przez punkt $C$ leżący na zewnątrz tego okręgu. Zatem okręgi $K_1$ i $K_2$ przecinają się w $2$ punktach; jednym z nich jest punkt $B$ , więc drugi punkt przecięcia $M$ leży po przeciwnej stronie cięciwy $FC$ . Według twierdzenia o kącie wpisanym

$ \measuredangle AMB = \measuredangle AEB,\ \measuredangle BMC = \measuredangle BFC, $

zatem

$ \measuredangle AMC = \measuredangle AMB + \measuredangle MBC = \measuredangle AEB + \measuredangle BFC = \measuredangle AEB + \measuredangle DFE = \measuredangle ADC. $

Ponieważ punkty $D$ i $M$ leżą po tej samej stronie prostej $AC$ , więc z równości $\measuredangle AMC = \measuredangle ADC$ wynika, że punkt $M$ leży na okręgu $K_3$ , okręgi $K_1$ , $K_2$ , $K_3$ mają zatem punkt, wspólny $M$ .

W taki sam sposób udowodnimy, że okręgi $K_1$ , $K_3$ , $K_4$ mają punkt wspólny $N$ . Punkty $M$ i $N$ są punktami wspólnymi okręgów $K_1$ i $K_3$ ; żaden z nich nie może pokrywać się z punktem wspólnym $A$ tychże okręgów, gdyż punkt $A$ leży na zewnątrz okręgów $K_2$ i $K_4$ , więc $M$ i $N$ pokrywają się, tzn. okręgi $K_1$ , $K_2$ , $K_3$ , $K_4$ mają punkt wspólny.

Uwaga. Dowód powyższy wymaga uzupełnienia. Przyjęliśmy bowiem bez uzasadnienia, że punkty przecięcia $4$ prostych można zawsze oznaczyć w ten sposób, że na danych prostych leżą odpowiednio trójki $(A, B, C)$ , $(A, D, E)$ , $(C, F, D)$ , $(B, F, E)$ , przy czym punktami wewnętrznymi tych $4$ trójek są punkty $B$ , $D$ , $F$ i $F$ . Fakt ten wysnuliśmy z obserwacji rysunku, co nie jest ścisłym dowodem matematycznym. Przeprowadzimy obecnie jego dowód nie posługując się rysunkiem.

Wśród danych $6$ punktów są $4$ trójki punktów współliniowych tzn. leżących na jednej prostej), a w każdej trójce jeden z punktów leży między dwoma innymi. Zatem któryś z danych $6$ punktów nie jest punktem wewnętrznym żadnej trójki, nazwijmy go $P_1$ . Przez $P_1$ przechodzą $2$ spośród danych prostych; na jednej leżą dalsze $2$ z danych punktów, które możemy oznaczyć literami $P_2$ i $P_3$ w ten sposób, żeby punkt $P_2$ leżał pomiędzy punktami $P_1$ i $P_3$ ; podobnie na drugiej prostej leżą $2$ inne punkty, które tak oznaczymy literami $P_4$ i $P_5$ , że $P_4$ leży między $P_1$ i $P_5$ . Szósty punkt oznaczymy literą $P_6$ , przy czym mogą zajść $2$ przypadki, które kolejno rozpatrzymy: 1) $P_6$ jest punktem przecięcia prostych $P_3P_4$ i $P_2P_5$ ; wówczas $P_6$ leży między punktami $P_3$ i $P_4$ , gdyż prosta $P_2P_5$ przecina bok $P_1P_3$ trójkąta $P_1P_3P_4$ w punkcie $P_2$ , więc musi przeciąć bok $P_3P_4$ (Twierdzenie: Jeżeli prosta ma punkt wspólny z bokiem trójkąta, a nie przechodzi przez żaden wierzchołek trójkąta, to ma punkt wspólny z którymś z pozostałych boków trójkąta, jest podstawowym faktem geometrii przyjmowanym zwykle za pewnik zwany pewnikiem Pascha. Sformułował go w r. 1882 Moritz Pasch (1843-1930), matematyk niemiecki, profesor uniwersytetu w Giessen.); analogicznie punkt $P_6$ leży między punktami $P_2$ i $P_5$ . Jeżeli punkty $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ , $P_4$ , $P_5$ , $P_6$ nazwiemy odpowiednio $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ , otrzymamy żądane oznaczenia punktów. 2) $P_6$ jest punktem przecięcia prostych $P_2P_4$ i $P_3P_5$ . Wówczas może zajść jeden z dwóch przypadków : a) Punkt $P_2$ leży między punktami $P_4$ i $P_6$ ; wówczas punkt $P_3$ leży między punktami $P_5$ i $P_6$ , gdyż prosta $P_1P_3$ przechodzi przez punkt $P_2$ boku $P_4P_6$ trójkąta $P_4P_5P_6$ , więc musi przeciąć bok $P_5P_6$ . Poszukiwane oznaczenie otrzymamy wówczas nazywając punkty $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ , $P_4$ , $P_5$ , $P_6$ odpowiednio $C$ , $F$ , $D$ , $B$ , $A$ , $E$ ; b) punkt $P_4$ leży między punktem $P_2$ i $P_6$ ; wówczas punkt $P_5$ leży między $P_3$ i $P_6$ , gdyż prosta $P_1P_5$ przechodząc przez punkt $P_4$ boku $P_2P_6$ trójkąta $P_2P_3P_6$ musi przejść przez jakiś punkt boku $P_3P_6$ . W tym przypadku punkty $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ , $P_4$ , $P_5$ , $P_6$ nazywamy odpowiednio $C$ , $B$ , $A$ , $F$ , $D$ , $E$ i otrzymujemy żądane oznaczenia.