I MEMO - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

I MEMO, 2007

Dodatnie liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ , $d$ spełniają warunki

$ {1\over 2}\le a,b,c,d\le 2\qquad\hbox{oraz}\qquad abcd=1. $

Znaleźć największą możliwą wartość wyrażenia

$ \Bigl(a+{1\over b}\Bigr)\Bigl(b+{1\over c}\Bigr) \Bigl(c+{1\over d}\Bigr)\Bigl(d+{1\over a}\Bigr). $

Rozwiązanie

Korzystając z równości $abcd=1$ obliczamy, że

$ \begin{split}\Bigl(a+{1\over b}\Bigl)\Bigr(c+{1\over d}\Bigr)&= ac+{a\over d}+{c\over b}+{1\over bd}= ac+a^2bc+ac^2d+ac=ac(ab+2+cd), \cr \Bigl(b+{1\over c}\Bigl)\Bigr(d+{1\over a}\Bigr)&= bd+{b\over a}+{d\over c}+{1\over ac}= bd+b^2cd+abd^2+bd=bd(bc+2+ad), \end{split} $

skąd otrzymujemy

$ \Bigl(a+{1\over b}\Bigr)\Bigl(b+{1\over c}\Bigr) \Bigl(c+{1\over d}\Bigr)\Bigl(d+{1\over a}\Bigr) =(ab+2+cd)(bc+2+ad). $

Ponadto

$ \begin{split}ab+2+cd&= ab+2+{1\over ab}=\Bigl(\sqrt{ab}+{1\over\sqrt{ab}}\Bigr)^2, \cr bc+2+ad&= bc+2+{1\over bc}=\Bigl(\sqrt{bc}+{1\over\sqrt{bc}}\Bigr)^2, \end{split} $

co implikuje równość

$ \begin{split}\Bigl(a&+{1\over b}\Bigr)\Bigl(b+{1\over c}\Bigr) \Bigl(c+{1\over d}\Bigr)\Bigl(d+{1\over a}\Bigr) =\Bigl[\Bigl(\sqrt{ab}+{1\over\sqrt{ab}}\Bigr) \Bigl(\sqrt{bc}+{1\over\sqrt{bc}}\Bigr)\Bigr]^2= \cr &=\Bigl(\sqrt{ab^2c}+\sqrt{{a\over c}}+ \sqrt{{c\over a}}+{1\over\sqrt{ab^2c}}\Bigl)^2= \Bigl(\sqrt{{b\over d}}+\sqrt{{d\over b}}+ \sqrt{{a\over c}}+\sqrt{{c\over a}}\Bigr)^2. \end{split} $

Doszliśmy w ten sposób do przedstawienia

$ (1) \qquad \Bigl(a+{1\over b}\Bigr)\Bigl(b+{1\over c}\Bigr) \Bigl(c+{1\over d}\Bigr)\Bigl(d+{1\over a}\Bigr)= \Bigl[f\Bigl(\sqrt{{b\over d}}\Bigr)+ f\Bigl(\sqrt{{a\over c}}\Bigr)\Bigr]^2, $

gdzie oznaczyliśmy $f(t)=t+1/t$ .

Na mocy warunku ${1\over 2}\le a,b,c,d \le 2$ liczby $\sqrt{{b\over d}}$ i $\sqrt{{a\over c}}$ należą do przedziału $\langle {1\over 2};2 \rangle$ . Dla dowolnych liczb dodatnich $t_1$ , $t_2$ mamy

$ f(t_1)-f(t_2)=t_1-t_2+{1\over t_1}-{1\over t_2}= (t_1-t_2)+{t_2-t_1\over t_1t_2}= (t_1-t_2)\Bigl(1-{1\over t_1t_2}\Bigr). $

Z powyższej zależności wynika, że funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $(0;1 \rangle$ oraz rosnąca w przedziale $\langle 1;\infty)$ . Stąd wniosek, że

$ f(t)\le\max\{f(\frac{1}{2}),f(2)\} =\frac{5}{2} $

dla dowolnej liczby $t\in\langle \frac{1}{2};2 \rangle$ . Zatem z równości (1) wynika, że

$ (2) \qquad \Bigl(a+{1\over b}\Bigr)\Bigl(b+{1\over c}\Bigr) \Bigl(c+{1\over d}\Bigr)\Bigl(d+{1\over a}\Bigr) \le (\frac{5}{2}+\frac{5}{2})^2=25. $

Na koniec pozostaje zauważyć, że dla $a=b=2$ , $c=d=\frac{1}{2}$ nierówność (2) staje się równością (czynniki lewej strony są odpowiednio równe $\frac{5}{2}$ , 4, $\frac{5}{2}$ , 1).

Odpowiedź: Największą możliwą wartością badanego wyrażenia jest 25.