XI OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XI OM, 1959-1960

Etap:

Rozwiązać równanie

$ (1) \qquad \sqrt[n]{(x + 1)^2} + \sqrt[n]{(x - 1)^2} = 4 \sqrt[n]{x^2 - 1}. $

Rozwiązanie

Wprowadzimy oznaczenia

$ \sqrt[n]{x + 1} = u, \ \sqrt[n]{x-1} = v. $

Wówczas $x + 1 = u^n$ , $x - 1 = v^n$ , skąd $u^n - v^n = 2$ ; równanie (1) przybiera postać $u^2 + v^2 = 4uv$ . Weźmy pod uwagę układ równań

$ \nr{\textrm{I}} \begin{array}{c} u^2 + v^2 = 4uv,\\ u^n - v^n = 2. \end{array} $

Jeżeli $x$ jest liczbą spełniającą równanie (1), a przy tym $x> 1$ to $u$ i $v$ są liczbami dodatnimi spełniającymi układ równań (I). Odwrotnie, jeżeli liczby dodatnie $u$ i $v$ spełniają układ równań (I), to liczba $x = u^n - 1 = v^n + 1$ jest większa od $1$ i spełnia równanie (1). Dodatnie rozwiązania układu równań (I) łatwo znajdziemy obliczając z pierwszego z tych równań stosunek $\frac{u}{v}$ :

$ \left( \frac{u}{v} \right)^2 - 4\left( \frac{u}{v} \right) + 1 = 0. $

Biorąc pod uwagę, że gdy $u > 0$ , $v > 0$ , to według drugiego równania układu (I) musi być $u > v$ , otrzymujemy

$ \frac{u}{v} = 2 + \sqrt{3}. $

Podstawienie do drugiego równania układu (I) daje $v^n = \frac{2}{(2 + \sqrt{3})^n - 1}$ zatem

$ x = \frac{2}{(2 + \sqrt{3})^n - 1} + 1 = \frac{(2 + \sqrt{3})^n + 1}{(2 + \sqrt{3})^n - 1} $

jest jedynym większym od $1$ pierwiastkiem równania (1).

Aby znaleźć pozostałe pierwiastki równania (1), wystarczy zauważyć, że z uwagi na prawą stronę tego równania musi być $x^2 \geq 1$ i że jeśli $x$ jest pierwiastkiem równania, to ma ono również pierwiastek $- x$ . Wobec tego równanie (1) ma jeszcze tylko jeden pierwiastek

$ x = - \frac{(2 + \sqrt{3})^n + 1}{(2 + \sqrt{3})^n - 1} \frac{(2 - \sqrt{3})^n + 1}{(2 - \sqrt{3})^n - 1}. $