XI OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XI OM, 1959-1960

Etap:

Każdy bok trójkąta o danym polu $S$ podzielono na trzy równe części i połączono odcinkami punkty podziału co drugi tworząc dwa trójkąty. Obliczyć pole sześciokąta będącego wspólną częścią tych trójkątów.

Rozwiązanie

Rozwiązanie zadania łatwo odczytać z rys. 1. Pole sześciokąta $123456$ równa się $\frac{2}{3}S$ , gdyż sześciokąt ten otrzymuje się z trójkąta $ABC$ przez obcięcie trzech równych trójkątów narożnych o polu $\frac{1}{9}S$ . Boki trójkątów $135$ i $246$ dzielą się wzajemnie na równe odcinki gdyż np. w trapezie $1234$ przekątne $13$ i $24$ dzielą się na części będące w takim stosunku jak podstawy $23$ i $14$ , tj. w stosunku $1 \colon 2$ , wobec czego np. odcinek $II\ 2$ równa się trzeciej części odcinka $42$ . Sześciokąt $123456$ składa się z $18$ trójkątów o równych polach, a sześciokąt zakreskowany $I\ II\ III\ IV\ V\ VI$ z $6$ trójkątów o takich samych polach. Pole zakreskowanego sześciokąta wynosi więc $\frac{2}{9} S$ .