XI OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XI OM, 1959-1960

Etap:

Znaleźć wszystkie liczby całkowite $x$ i $y$ spełniające równanie

$ (1) \qquad (x + 2)^4 - x^4 = y^3. $

Rozwiązanie

Ponieważ

$ (x + 2)^4 - x^4 = [(x + 2)^2 + x^2] [(x^2 + 2)^2 - x^2] = 8 (x + 1) [(x + 1)^2 + 1], $

więc równanie (1) można napisać w postaci

$ (2) \qquad 8 (x + 1) [(x + 1)^2 + 1] = y^3. $

Podstawiając w (2)

$ x + 1 = u, \ y = 2v $

otrzymujemy równanie

$ (3) \qquad u^3 + u = v^3. $

Jeżeli para liczb całkowitych $(x, y)$ jest rozwiązaniem równania (2), to $y$ jest liczbą parzystą, zatem $(u, v)$ jest parą liczb całkowitych, spełniających równanie (3). Odwrotnie każdej parze $(u, v)$ liczb całkowitych spełniających równanie (3) odpowiada para liczb całkowitych $x = u - 1$ , $y = 2v$ spełniających równanie (2). Zadanie sprowadza się zatem do wyznaczenia rozwiązań całkowitych równania (3). Spostrzegamy natychmiast, że rozwiązaniem takim jest $u = 0$ , $v = 0$ ; udowodnimy, że innych rozwiązań nie ma. Istotnie, gdyby para liczb całkowitych $(u, v)$ spełniała równanie (3) i była różna od pary $(0, 0)$ , to byłoby $u \ne 0$ i $v \ne 0$ i zachodziłby jeden z przypadków:

a) $u > 0$ ; wobec (3) byłoby wówczas $v > u$ , zatem $v \geq u + 1$ , więc $v^3 \geq u^3 + 3u^2 + 3u + 1$ i $v^3 > u^3 + u$ , co przeczyłoby założeniu (3);

b) $u < 0$ ; wówczas byłoby $v < u$ , zatem $v \leq u - 1$ , stąd $v^3 \leq u^3 - 3u^2 + 3u - 1$ , więc $v^3 < u^3 + u$ , co znowu jest sprzeczne ż (3).

Zatem jedynym rozwiązaniem równania (3) w liczbach całkowitych jest $u = 0$ , $v = 0$ , a jedynym takimże rozwiązaniem równania (2) jest $x = - 1$ , $y = 0$ .