XI OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

XI OM, 1959-1960

Etap:

a) Znaleźć warunek konieczny i dostateczny do tego, aby równania kwadratowe

$ x^2 + p_1x + q_1 = 0 $

$ x^2 + p_2x + q_2 = 0 $

miały wspólny pierwiastek.

b) Dowieść, że jeżeli te równania mają wspólny pierwiastek, ale nie są identyczne, a liczby $p_1$ , $q_1$ , $p_2$ , $q_2$ są wymierne, to pierwiastki danych równań są wymierne.

Rozwiązanie

a) Przypuśćmy, że pewna liczba $x$ spełnia oba równania (1). Warunek poszukiwany znajdziemy rugując $x$ z tych równań, co możemy wykonać np. w sposób następujący.

Jeżeli $p_1 \ne p_2$ , to możemy równania (1) rozwiązać względem $x$ i $x^2$ , co daje

$ (2) \qquad x = -\frac{q_2-q_1}{p_2-p_1},\ x^2 = \frac{p_1q_2-p_2q_1}{p_2-p_1}, $

a stąd jako wynik rugowania $x$ otrzymujemy równość

$ (3) \qquad \frac{p_1q_2-p_2q_1}{p_2-p_1} = \left( \frac{q_2-q_1}{p_2-p_1} \right)^2 $

lub po łatwym przekształceniu równość

$ (4) \qquad (p_1 - p_2) (p_1q_2-p_2q_1) + (q_1-q_2)^2 = 0. $

Jeżeli $p_1 = p_2$ , to odejmując równości (1) otrzymujemy $q_1- q_2= 0$ . Równość (4) jest wówczas spełniona. Równość (4) jest więc warunkiem koniecznym na to, aby równania (1) miały wspólny pierwiastek. Jest to zarazem warunek dostateczny. Jeżeli bowiem $p_1 \ne p_2$ , to z równości (4) wynika równość (3), wobec czego liczba

$ (5) \qquad x = - \frac{q_2 - q_1}{p_2 - p_1} $

jest wspólnym pierwiastkiem równań (2), więc też i równań (1). Jeżeli zaś $p_1 = p_2$ , to z równości (4) wynika, że $q_1 = q_2$ ; oba równania (1) są wtedy jednakowe.

Jeżeli współczynniki $p_1$ , $q_1$ , $p_2$ , $q_2$ danych równań są rzeczywiste i spełniają warunek (4), to, w przypadku gdy $p_1 \ne p_2$ , wspólny pierwiastek tych równań dany wzorem (5) jest liczbą rzeczywistą, więc i pozostałe ich pierwiastki są rzeczywiste; w przypadku zaś gdy $p_1 = p_2$ , oba równania mają te same pierwiastki, które mogą być jednak liczbami urojonymi.

b) Jeżeli liczby $p_1$ , $q_1$ , $p_2$ , $q_2$ są wymierne, a równania (1) mają wspólny pierwiastek, ale nie są identyczne, to $p_1 \ne p_2$ i wspólny pierwiastek $x_1$ jest określony wzorem (5), a więc jest on liczbą wymierną. W takim razie i pozostałe pierwiastki $x_2$ i $x_3$ równań (1) są liczbami wymiernymi, gdyż są to liczby $x_2 = - p_1 - x_1$ i $x_3 = - p_2 - x_1$ .

Uwaga 1. Rugowanie $x$ z równań (1) można wykonać bez rozróżniania dwóch przypadków. Mianowicie rugujemy najpierw $x^2$ z równań (1) i otrzymujemy równanie

$ (6) \qquad (p_1 - p_2) x + q_1 - q_2 = 0, $

następnie rugujemy $x^2$ z równań

$ (p_1 - p_2) x^2 + (q_1 - q_2) x = 0 \textrm{ i } x^2 + p_1x + q_1 = 0, $

co daje równanie

$ (7) \qquad [p_1 (p_1 - p_2) - (q_1 - q_2)] x + q_1 (p_1 - p_2) = 0. $

Wreszcie rugujemy $x$ z równań (6) i (7) i otrzymujemy warunek

$ q_1 (p_1 - p_2)^2 - (q_1 - q_2) [p_1 (p_1 - p_2) - (q_1 - q_2)] = 0, $

który łatwo przekształcić do postaci (4).

Uwaga 2. Wniosek, że przy założeniach wymienionych w punkcie b) pierwiastki danych równań są wymierne, można uzyskać bez odwoływania się do a), w szczególności do wzoru (5) na wspólny pierwiastek równań (1). Wystarczy bowiem zauważyć, że gdyby wspólny pierwiastek tych równań był liczbą niewymierną, to miałby postać $\alpha + \varepsilon \sqrt{\beta}$ , gdzie $\alpha$ i $\beta$ oznaczają liczby wymierne a $\varepsilon^2 = 1$ . W takim razie drugi pierwiastek każdego z równań (1) byłby równy $\alpha - \varepsilon \sqrt{\beta}$ ; oba równania miałyby zatem te same pierwiastki, a że mają one jednakowe współczynniki przy $x^2$ , więc byłyby identyczne, wbrew założeniu.