XI OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XI OM, 1959-1960

Etap:

Znaleźć wzór wyrażający iloczyn

$ \left( 1 - \frac{4}{1} \right) \left( 1 - \frac{4}{9} \right) \left( 1 - \frac{4}{25} \right) \ldots \left( 1 - \frac{4}{(2n-1)^2} \right) $

w zależności od $n$ .

Rozwiązanie

Oznaczając dany iloczyn literą $P$ możemy napisać

$ \begin{split} P& = \frac{(1 - 4) (9 - 4) (25 - 4) (49 - 4) (81 - 4) \ldots [(2n - 1)^2 - 4]}{1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdot 9^2 \cdot \ldots \cdot (2n - 1)^2} =\\ & = \frac{-3 (1 \cdot 5) (3 \cdot 7) (5 \cdot 9) (7 \cdot 11) \cdot \ldots \cdot (2n - 3) (2n+1)}{1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdot 9^2 \cdot \ldots \cdot (2n - 1)^2} =\\ & =\frac{1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdot \ldots \cdot (2n - 3)^2 (2n - 1) (2n + 1)}{ 1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdot \ldots \cdot (2n - 3)^2 \cdot (2n - 1)^2}, \end{split} $

zatem

$ P = - \frac{2n + 1}{2n-1}. $

Proponujemy czytelnikom sprawdzenie powyższego wyniku przy użyciu indukcji zupełnej.