XI OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XI OM, 1959-1960

Etap:

Dowieść, że jeżeli czworokąt jest opisany na kole, to można na nim opisać koło wtedy i tylko wtedy gdy cięciwy łączące punkty styczności przeciwległych boków czworokąta z kołem są prostopadłe.

Rozwiązanie

Niech $ABCD$ będzie czworokątem opisanym na pewnym kole i niech $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ oznaczają odpowiednio punkty styczności boków $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ z kołem wpisanym a $S$ - punkt przecięcia odcinków $MP$ i $NQ$ (rys. 16).

Ponieważ styczne do koła poprowadzone w końcach pewnej cięciwy tworzą z tą cięciwą równe kąty, więc oznaczając $\measuredangle AMS = \delta$ , $\measuredangle AQS= \varepsilon$ mamy $\measuredangle DPS = \delta$ , $\measuredangle BNS = \varepsilon$ , zatem $\measuredangle CPS = 180^\circ - \delta$ , $\measuredangle CNS = 180^\circ - \varepsilon$ . Niech $\measuredangle MSQ = \varphi$ .

W czworokącie $AMSQ$

$ \measuredangle A = 360^\circ - \delta - \varepsilon - \varphi, $

a w czworokącie $CNSP$

$ \measuredangle C = 360^\circ - (180^\circ - \delta) - (180^\circ - \varepsilon) - \varphi. $

Dodając te równości otrzymujemy

$ \measuredangle A + \measuredangle C = 360^\circ - 2 \varphi. $

Na czworokącie $ABCD$ można opisać koło wtedy i tylko wtedy, gdy sumy dwóch kątów przeciwległych wynoszą po $180^\circ$ . Otóż z ostatniej równości wynika, że $\measuredangle A + \measuredangle C = 180^\circ$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\varphi = 90^\circ$ , tzn. gdy cięciwy $MP$ i $NQ$ są prostopadłe c.n.d.