XI OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XI OM, 1959-1960

Etap:

Niech dla czworościanu $ABCD$ litery $S_A$ , $S_B$ , $S_C$ , $S_D$ oznaczają pola ścian czworościanu przeciwległych odpowiednio do wierzchołków $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , a $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ kąty dwuścienne czworościanu przy krawędziach $AD$ , $BD$ i $CD$ . Udowodnić, że

$ S^2_D = S^2_A + S^2_B + S^2_C - 2S_A S_B \cos \gamma - 2S_BS_C \cos \alpha - 2S_AS_C \cos \beta. $

Rozwiązanie

Twierdzenie, które mamy udowodnić, jest analogiczne do twierdzenia cosinusów dla trójkąta; można by je nazwać twierdzeniem cosinusów dla czworościanu. Nasuwa się przypuszczenie, że również dowody obu twierdzeń dadzą się poprowadzić w sposób analogiczny. Przekonamy się, że tak jest istotnie. W tym celu wybieramy ten dowód twierdzenia cosinusów dla trójkąta, który jest geometrycznie najprostszy, gdyż sprowadza się do stwierdzenia elementarnego faktu, że każdy bok trójkąta jest sumą (lub różnicą) rzutów dwóch pozostałych boków na ów pierwszy bok (rys. 17), co wyrażają wzory

$a = b \cos C + c \cos B$

$b = c \cos A + a \cos C$

$c = a \cos B + b \cos A.$

Obliczając z drugiego i trzeciego wzoru

$ \cos C = \frac{b - c \cos A}{a} \textrm{ i } \cos B = \frac{c - b \cos A}{a} $

i podstawiając te wyrażenia do pierwszego wzoru otrzymujemy twierdzenie cosinusów

$ a^2= b^2+ c^2 - 2bc \cos A. $

Weźmy teraz pod uwagę czworościan $PQRS$ . Łatwo jest wskazać twierdzenie o czworościanie będące odpowiednikiem powyższego twierdzenia o rzutach dla trójkąta. Brzmi ono: pole każdej ściany czworościanu jest sumą algebraiczną pól rzutów pozostałych trzech ścian na ową pierwszą ścianę. Twierdzenie to ilustruje rys. 18, na którym punkt $T$ przedstawia rzut wierzchołka $S$ czworościanu $PQRS$ na ścianę $PQR$ .

Gdy punkt $T$ leży wewnątrz trójkąta $PQB$ , to

$ (1) \qquad \textrm{pole }PQR = \textrm{pole }PQT + \textrm{pole }QRT + \textrm{pole }RPT. $

Wzór (1) wyraża właśnie wzmiankowane wyżej twierdzenie o rzutach, gdyż trójkąty $PQT$ , $QRT$ , $RPT$ są rzutami ścian $PQS$ , $QRS$ , $RPS$ na płaszczyznę ściany $PQR$ .

Wzór (1) jest słuszny i wtedy, gdy punkt $T$ leży na obwodzie trójkąta $PQR$ , z tym jednak, że jeden lub dwa składniki po prawej stronie są równe zeru; wówczas rzuty jednej lub dwóch ścian czworościanu na płaszczyznę $PQR$ są odcinkami.

Gdy punkt $T$ leży na zewnątrz trójkąta $PQR$ , to jeden lub dwa z trójkątów $PQT$ , $QRT$ , $RPT$ leżą na zewnątrz tego trójkąta (oczywiście z wyjątkiem boku wspólnego z trójkątem $PQR$ ). Wówczas należy we wzorze (1) odpowiedni składnik lub odpowiednie dwa składniki wziąć ze znakiem minus. Jeżeli przy tym punkt $T$ znajduje się na przedłużeniu któregoś boku trójkąta $PQR$ , to odpowiedni składnik jest równy zeru. Na przykład w przypadku przedstawionym na rys. 18 z prawej strony

$ (2) \qquad \textrm{pole }PQR = \textrm{pole }PQT - \textrm{pole }QRT - \textrm{pole }RPT. $

Niech $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ oznaczają odpowiednio kąty dwuścienne czworościanu $PQRS$ przy krawędziach $QR$ , $RP$ , $PQ$ .

Wiadomo ze stereometrii, że pole rzutu (prostokątnego) figury leżącej w płaszczyźnie $\Pi_1$ na płaszczyznę $\Pi_2$ równa się iloczynowi, pola tej figury przez cosinus tego kąta między płaszczyznami $\Pi_1$ , $\Pi_2$ , który jest $\leq 90^\circ$ . Według tego twierdzenia pole rzutu ściany $QRS$ na podstawę $PQR$ , czyli pole trójkąta $QRT$ , równa się iloczynowi
$(\textrm{pole }QRS) \cdot \cos \lambda$ lub iloczynowi $(\textrm{pole }QRS) \cos (180^\circ - \lambda) = - (\textrm{pole }QRS) \cos \lambda$ zależnie od tego, czy trójkąt $QRT$ leży po tej samej stronie prostej $QR$ co trójkąt $PQR$ (kąt $\lambda$ jest wtedy ostry), czy po przeciwnej (kąt $\lambda$ rozwarty). Jeśli zaś punkt $T$ leży na prostej $QR$ , to $\lambda = 90^\circ$ , pole rzutu ściany $QRS$ jest równe zeru, więc też równa się iloczynowi $(\textrm{pole }QRS) \cos \lambda$ . W takim razie, zarówno w przypadku kiedy zachodzi wzór (1) bądź wzór (2), jak i dla każdego innego położenia punktu $T$ , słuszny jest wzór

$ (3) \qquad \textrm{pole }PQR = (\textrm{pole }PQS) \cos \nu + (\textrm{pole }RPS) \cos \mu + (\textrm{pole }QRS) \cos \lambda. $

Z twierdzenia (3) wynika w prosty sposób twierdzenie cosinusów dla czworościanu. Przyjmijmy oznaczenia podane w tekście zadania 12, a ponadto oznaczmy kąty dwuścienne przy krawędziach $BC$ , $CA$ , $AB$ odpowiednio literami $\delta$ , $\varepsilon$ , $\eta$ (rys. 19).

Według twierdzenia (3)

$ (4) \qquad \begin{array}{c} S_D = S_A \cos \delta + S_B \cos \varepsilon + S_C \cos \eta \\ S_A = S_B \cos \gamma + S_C \cos \beta + S_D \cos \delta \\ S_B = S_C \cos \alpha + S_D \cos \varepsilon + S_A \cos \gamma \\ S_C = S_D \cos \eta + S_A \cos \beta + S_B \cos \alpha. \end{array} $