XI OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XI OM, 1959-1960

Etap:

Dane są równania

$ \begin{array}{c} x^2 + p_1x + q_1 = 0\\ x^2 + p_2x + q_2 = 0\\ x^2 + p_3x + q_3 = 0, \end{array} $

z których każde dwa mają wspólny pierwiastek, ale wszystkie trzy nie mają wspólnego pierwiastka. Dowieść, że

$ (1^\circ) \qquad 2 (p_1p_2 + p_2p_3 + p_3p_1) - (p_1^2 + p_2^2 + p_3^2) = 4 (q_1 + q_2+ q_3) $

$ (2^\circ) \qquad \textrm{pierwiastki tych równań są wymierne, gdy liczby $p_1$, $p_2$ i $p_3$ są wymierne}. $

Rozwiązanie

Niech $\alpha$ będzie wspólnym pierwiastkiem pierwszych dwóch równań, a $\beta$ i $\gamma$ pozostałymi pierwiastkami pierwszego i drugiego równania; wówczas pierwiastkami trzeciego równania są liczby $\beta$ i $\gamma$ .

Według wzorów na sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego

$ (1) \qquad \begin{array}{c} \alpha + \beta = - p_1,\\ \alpha + \gamma = - p_2,\\ \beta + \gamma = - p_3 \end{array} \textrm{ oraz } (2) \qquad \begin{array}{c} \alpha \beta = q_1,\\ \alpha \gamma = q_2,\\ \beta \gamma = q_3. \end{array} $

Z równości (1) wynika, że

$ (3) \qquad \alpha = \frac{p_3 - p_1 - p_2}{2},\ \beta = \frac{p_2 - p_1 - p_3}{2},\ \gamma = \frac{p_1 - p_2 - p_3}{2}. $

Podstawiając wyrażenia (3) na $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ do równości (2) i dodając te równości otrzymujemy

$ \begin{split} \frac{1}{4} (p_3 & -p_1- p_2) (p_2 - p_1- p_3) + (p_3 -p_1- p_2) (p_1 -p_2- p_3) +\\ & + (p_2 -p_1- p_3) (p_1 -p_2- p_3)] = q_1+ q_2+ q_3, \end{split} $