XI OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XI OM, 1959-1960

Etap:

Dane są dwa okręgi o wspólnym środku $O$ i punkt $A$ . Zbudować okrąg o środku $A$ przecinający okręgi dane w takich punktach $M$ i $N$ , żeby prosta $MN$ przechodziła przez punkt $O$ .

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że pewien okrąg o środku $A$ przecina okręgi dane w punktach $M$ i $N$ leżących na jednej prostej z punktem $O$ . Niech $S$ będzie środkiem odcinka $MN$ . Zadanie będzie rozwiązane, gdy potrafimy znaleźć punkt $S$ . Jeżeli punkty $M$ i $N$ leżą po tej samej stronie punktu $O$ , to

$<br /> OS = \frac{ OM + ON}{2} = \frac{ r_1 + r_2}{2},<br />$

jeśli zaś $M$ i $N$ leżą po przeciwnych stronach punktu $O$ , to

$<br /> OS = \frac{OM-ON}{2} = \frac{r_1-r_2}{2},<br />$

gdzie $r_1$ i $r_2$ oznaczają promienie danych okręgów, przy czym $r_1 > r_2$ (rys. 20).

Kąt $OSA$ jest prosty, gdyż w trójkącie równoramiennym $MAN$ ( $MA = NA$ ) środkowa $AS$ jest jednocześnie wysokością.

Wobec tego punkt $S$ jest punktem przecięcia jednego z okręgów $k_1$ i $k_2$ zakreślonych ze środka $O$ promieniami $\frac{r_1 + r_2}{2}$ i $\frac{r_1 - r_2}{2}$ z okręgiem $k_3$ o średnicy $OA$ .

Stąd wynika natychmiast sposób wyznaczenia punktu $S$ , a zatem i konstrukcja poszukiwanego okręgu. Istnienie i ilość rozwiązań zależą od istnienia punktów wspólnych okręgów $k_1$ i $k_2$ z okręgiem $k_3$ . Warunkiem przecinania się okręgów $k_1$ i $k_3$ jest nierówność $\frac{r_1 + r_2}{2} < OA$ ; gdy $\frac{r_1 + r_2}{2} = OA$ okręgi te są styczne.

Podobnie warunkiem przecinania się okręgów $k_2$ i $k_3$ jest nierówność $\frac{r_1 - r_2}{2} < O A$ ; gdy $\frac{r_1 - r_2}{2} = O A$ , zachodzi styczność tych okręgów.

Stąd wniosek:

a) gdy $OA \geq \frac{r_1 + r_2}{2}$ , zadanie ma 2 rozwiązania, przy czym
gdy $OA = \frac{r_1 + r_2}{2}$ , jeden z otrzymanych okręgów jest styczny do obu danych okręgów;

b) gdy $\frac{r_1 - r_2}{2} \leq OA < \frac{r_1 + r_2}{2}$ , zadanie ma jedno rozwiązanie, które w przypadku równości $OA = \frac{r_1 - r_2}{2}$ jest okręgiem stycznym do obu danych okręgów.

c) Gdy $OA < \frac{r_1 - r_2}{2}$ , zadanie nie ma rozwiązań.