XI OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XI OM, 1959-1960

Etap:

Dowieść, że jeżeli $n$ jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczba

$<br /> 2^{n+2} + 3^{2n+1}<br />$

jest podzielna przez $7$ .

Rozwiązanie

\spos{1} Stosujemy indukcję matematyczną. Gdy $n = 0$ , twierdzenie jest prawdziwe, gdyż $2^2 + 3 = 7$ . Przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe, gdy $n = k \geq 0$ , wówczas $2^{k+2} = 7m + r$ , $3^{2k+1} = 7l - r$ , gdzie $m$ , $l$ i $r$ są liczbami całkowitymi nieujemnymi, a wobec tego

$<br /> 2^{k+3} + 3^{2k+3} = 2 \cdot 2^{k+2} + 9 \cdot 3^{2k+1} = 2 (7m + r) + 9 (7l - r) = = 7 (2m + 9l) - 7r = 7 (2m + 9l - r).<br />$

Twierdzenie jest więc prawdziwe, gdy $n = k + 1$ . Stąd wynika na podstawie indukcji prawdziwość twierdzenia dla każdego całkowitego nieujemńego $n$ .