XI OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XI OM, 1959-1960

Etap:

Dane są na prostej trzy różne punkty $A$ , $B$ , $C$ i punkt $S$ poza tą prostą; prostopadle poprowadzone w punktach $A$ , $B$ , $C$ do prostych $SA$ , $SB$ , $SC$ przecinają się w punktach $M$ , $N$ , $P$ . Dowieść, że punkty $M$ , $N$ , $P$ , $S$ leżą na okręgu.

Rozwiązanie

Oznaczenia punktów przyjmiemy w ten sposób, że punkt $B$ leży między punktami $A$ i $C$ , punkt $M$ leży na prostopadłych do $SB$ i $SC$ , punkt $N$ - na prostopadłych do $SC$ i $SA$ , $A$ punkt $P$ - na prostopadłych do $SA$ i $SB$ .

Jeżeli któraś z prostych $SA$ , $SB$ , $SC$ jest prostopadła do prostej danej, to dwa z punktów $M$ , $N$ , $P$ , na przykład punkty $N$ i $P$ , pokrywają się z dwoma spośród punktów $ABC$ , wobec czego kąty $SNM$ i $SPM$ są proste. Punkty $M$ , $N$ , $P$ , $S$ leżą w tym przypadku na okręgu o średnicy $SM$ (rys. 21).

Jeżeli żadna z prostych $SA$ , $SB$ , $SC$ nie jest prostopadła do danej prostej, to zachodzi jeden z dwóch przypadków:

a) odcinki pochyłe $SA$ , $SB$ , $SC$ leżą po różnych stronach prostopadłej z punktu $S$ do danej prostej, na przykład $SA$ po jednej stronie, a $SB$ i $SC$ po drugiej (rys. 22).

Wówczas punkty $P$ i $N$ leżą po przeciwnej stronie danej prostej niż punkt $S$ , a punkt $M$ po tej samej stronie, co punkt $S$ . Ponieważ k4ty $SAP$ i $SBP$ są proste, więc punkty $S$ , $A$ , $P$ , $B$ leżą na okręgu o średnicy $SP$ i zachodzi równość kątów wpisanych

$ \measuredangle SAB = \measuredangle SPB. $

Podobnie, ponieważ kąty $SAN$ i $SCN$ są proste, więc punkty $S$ , $A$ , $N$ , $C$ leżą na okręgu o średnicy $SN$ , skąd wnioskujemy, jak wyżej, że

$ \measuredangle SAC = \measuredangle SNC. $

Ponieważ $\measuredangle SAB = \measuredangle SAC$ , gdyż punkt $B$ leży na odcinku $AC$ , więc z powyższych równości wynika, że

$ \measuredangle SPB = \measuredangle SNC. $

Lecz $\measuredangle SPB = \measuredangle SPM$ , a $\measuredangle SNC = \measuredangle SNM$ , gdyż punkt $B$ leży na odcinku $PM$ , a punkt $C$ na odcinku $NM$ , zatem

$ \measuredangle SPM = \measuredangle SNM, $

stąd zaś wynika, że punkty $P$ i $N$ leżą na pewnym okręgu przechodzącym przez punkty $S$ i $M$ .

b) Wszystkie trzy odcinki $SA$ , $SB$ , $SC$ leżą po jednej stronie prostopadłej z punktu $S$ na daną prostą (rys. 23). Wówczas wszystkie trzy punkty $M$ , $N$ , $P$ leżą po tej samej stronie danej prostej co punkt $S$ (Czytelnik zechce ten fakt uzasadnić dokładnie; najlepiej skorzystać z twierdzenia, że dwie proste przecięte trzecią prostą przecinają się po tej stronie owej trzeciej prostej, po której suma utworzonych przez nie kątów jednostronnych wewnętrznych jest mniejsza od $180^\circ$ ). Ponieważ $\measuredangle SAP = \measuredangle SBP = 90^\circ$ , więc punkty $S$ , $A$ , $B$ , $P$ leżą na okręgu o średnicy $SP$ , przy czym punkty $S$ i $B$ przedzielają punkty $A$ i $P$ , wobec czego kąty o wierzchołkach $A$ i $P$ wpisane w ten okrąg dają w sumie $180^\circ$ , tj.

$ \measuredangle SAB = 180^\circ - \measuredangle SPB . $

Podobnie $\measuredangle SAN = \measuredangle SCN = 90^\circ$ , więc punkty $S$ , $A$ , $C$ , $N$ leżą na okręgu o średnicy $SN$ , przy czym pary punktów $S$ , $C$ i $A$ , $N$ przedzielają się, więc jak wyżej

$ \measuredangle SAC = 180^\circ - \measuredangle SNC. $

Lecz $\measuredangle SAB =\measuredangle SAC$ , więc z powyższych równości wynika

$ \measuredangle SPB=\measuredangle SNC. $

Ponieważ punkt $B$ leży między punktami $A$ i $C$ , więc punkt $P$ leży między punktami $B$ i $M$ (gdyż jeżeli punkt $A$ porusza się w kierunku $AC$ , punkt $P$ oddala się od punktu $B$ ), a punkt $N$ między punktami $C$ i $M$ . Wobec tego $\measuredangle SPB = 180^\circ - \measuredangle SPM$ , $\measuredangle SNC = 180^\circ - \measuredangle SNM$ i z poprzedniej równości otrzymujemy

$ \measuredangle SPM = \measuredangle SNM. $

Stąd wynika, jak poprzednio, że punkty $P$ i $N$ leżą na okręgu przechodzącym przez punkty $S$ i $M$ .