I MEMO - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

I MEMO, 2007

Czworościan $T$ nazwiemy dobrym, jeżeli wszystkie długości jego krawędzi są różnymi dodatnimi liczbami całkowitymi, z których jedna jest równa 2, a jedna 3. Oznaczmy przez $s(T)$ sumę długości krawędzi dobrego czworościanu $T$ .

Znaleźć wszystkie takie dodatnie liczby całkowite $n$ , dla których istnieje dobry czworościan $T$ spełniający warunek $s(T)=n$ .

Ile istnieje nieprzystających dobrych czworościanów $T$ , dla których $s(T)=2007$ ?

Uwaga: Nie jest konieczne dowodzenie, że rozważane czworościany są niezdegenerowane, tzn. posiadają dodatnią objętość.

Rozwiązanie

Dobre czworościany dzielimy na dwie kategorie:

Krawędzie o długościach 2 i 3 nie należą do jednej ściany.

Oznaczmy wierzchołki danego czworościanu przez $A$ , $B$ , $C$ , $D$ tak, by $AB=2$ , $CD=3$ oraz by krawędź $AC$ była najkrótszą wśród czterech pozostałych krawędzi (rys. 7). Wszystkie krawędzie rozpatrywanego czworościanu mają różne długości całkowite, więc w szczególności $AC\ge 4$ .

(Równość $AC=1$ jest wykluczona, gdyż wraz z nierównością trójkąta prowadziłaby ona do wniosku, że $|AB-CB|<AC=1$ , wbrew temu, że $AB$ i $CB$ są różnymi liczbami całkowitymi.)

Z nierówności trójkąta otrzymujemy $BC<AB+AC=AC+2$ . Ponadto krawędź $AC$ jest krótsza od krawędzi $BC$ , skąd wynika, że $BC=AC+1$ .

Następnie raz jeszcze korzystając z nierówności trójkąta uzyskujemy $AD<AC+CD=AC+3$ . Ponadto $AD>AC$ oraz liczba $AC+1$ jest długością krawędzi $BC$ . Zatem $AD=AC+2$ . Wreszcie

$ |BD-(AC+2)|=|BD-AD|<AB=2, $

czyli długość $BD$ jest jedną z liczb $AC+1$ , $AC+2$ , $AC+3$ . Dwie pierwsze liczby są długościami odpowiednio krawędzi $BC$ i $AD$ , więc $BD=AC+3$ .

Udowodniliśmy w ten sposób, że

$ AB=2, \quad CD=3, \quad AC=k, \quad BC=k+1, \quad AD=k+2, \quad BD=k+3 $

dla pewnej liczby całkowitej $k\ge 4$ . Suma długości krawędzi czworościanu $ABCD$ wynosi w tym przypadku

$ 2+3+k+(k+1)+(k+2)+(k+3)=4k+11. $

Suma ta może być równa dowolnej liczbie całkowitej nie mniejszej od 27 oraz dającej resztę 3 z dzielenia przez 4, i każdej takiej liczbie odpowiada dokładnie jeden czworościan należący do kategorii 1.
Krawędzie o długościach 2 i 3 należą do jednej ściany.

Oznaczmy dany czworościan przez $ABCD$ i przyjmijmy, że $BC=2$ oraz $AB=3$ . Wówczas z nierówności trójkąta oraz z założenia, że długości wszystkich krawędzi są różnymi liczbami całkowitymi, dostajemy $AC=4$ .

Ponadto $|BD-CD|<BC=2$ , więc długości krawędzi $BD$ i $CD$ są dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi.

Jeżeli $BD=k$ i $CD=k+1$ (rys. 8), to otrzymujemy

$ |AD-k|=|AD-BD|<AB=3 \quad\hbox{oraz}\quad |AD-(k+1)|=|AD-CD|<AC=4. $

Stąd wynika, że $AD$ może przyjąć jedną z następujących trzech wartości: $k-2$ , $k-1$ , $k+2$ . Odpowiadające im zakresy zmienności $k$ to $k\ge 7$ , $k\ge 6$ , $k\ge 5$ , a odpowiadające sumy długości krawędzi wynoszą $3k+8$ , $3k+9$ , $3k+12$ . W ten sposób możemy uzyskać dowolną liczbę całkowitą nie mniejszą od 27 podzielną przez 3 oraz dowolną liczbę całkowitą nie mniejszą od 29 dającą resztę 2 z dzielenia przez 3.

Przypuśćmy z kolei, że $BD=k+1$ i $CD=k$ . Wtedy

$ |AD-(k+1)|=|AD-BD|<AB=3 \quad\hbox{oraz}\quad |AD-k|=|AD-CD|<AC=4. $

Zatem $AD$ może przyjąć jedną z następujących trzech wartości: $k-1$ , $k+2$ , $k+3$ . Odpowiadające im zakresy zmienności $k$ to $k\ge 6$ , $k\ge 5$ , $k\ge 5$ , a odpowiadające sumy długości krawędzi wynoszą $3k+9$ , $3k+12$ , $3k+13$ . W ten sposób możemy otrzymać dowolną liczbę całkowitą nie mniejszą od 27 podzielną przez 3 oraz dowolną liczbę całkowitą nie mniejszą od 28 dającą resztę 1 z dzielenia przez 3.

Ponieważ $2007\equiv 3\,\,\mod{4}$ i $3\,|\,2007$ , więc istnieje jeden dobry czworościan o sumie długości krawędzi równej 2007 należący do kategorii 1. - jego krawędzie mają długości 2, 3, 499, 500, 501, 502, oraz co najwyżej cztery nieprzystające dobre czworościany o sumie długości krawędzi równej 2007 należące do kategorii 2. - ich krawędzie mają długości 2, 3, 4, 665, 666, 667. Otrzymujemy następujących pięć czworościanów (rys. 9).

Nietrudno sprawdzić, że żadne dwa z powyższych czworościanów nie są przystające. Rzeczywiście, pierwszy ma inne długości krawędzi niż pozostałe cztery. Badając cztery pozostałe widzimy, że z wierzchołka, w którym schodzą się krawędzie o długościach 2 i 3 w drugim i trzecim czworościanie wychodzi krawędź o długości 666, w czwartym - o długości 667, w piątym - o długości 665. Ponadto czworościan drugi nie jest przystający do trzeciego, gdyż tylko jeden z nich zawiera ścianę o krawędziach długości 3, 665, 666.

Odpowiedź:

Taki czworościan istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy $n\ge 27$ .
5 czworościanów.