XI OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XI OM, 1959-1960

Etap:

III

Na okręgu obrano 6 różnych punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ w ten sposób, że $AB$ jest równolegle do $DE$ , a $DC$ jest równolegle do $AF$ . Dowieść, że $BC$ jest równoległe do $EF$ .

Rozwiązanie

Punkty dane mogą leżeć na okręgu rozmaicie. Aby rozwiązanie zadania było poprawne, trzeba przeprowadzić dowód niezależny od takiego czy innego położenia punktów. Postarajmy się rozumować bez żadnego rysunku.

Zauważmy najpierw, że jeżeli dwie cięciwy okręgu są równoległe np. $MN \parallel PQ$ , to punkty $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ są wierzchołkami trapezu równoramiennego o podstawach $MN$ i $PQ$ , a więc zachodzi równość pozostałych boków i równość przekątnych, tzn. $MP = NQ$ i $MQ = NP$ .

Wobec tego, ponieważ $AB \parallel DE$ , więc $AD = BE$ , a ponieważ $DC \parallel AF$ , więc $AD = CF$ . Z obu tych równości wynika, że $BE = CF$ . Stąd wynika dalej, że punkty $B$ , $C$ , $E$ , $F$ są wierzchołkami trapezu równoramiennego, w którym $BE$ i $CF$ są bądź równymi bokami, bądź przekątnymi. W takim razie równoległymi bokami trapezu są albo $BC$ i $EF$ albo $BF$ i $CE$ . Gdy $BC \parallel EF$ , teza naszego twierdzenia jest prawdziwa; udowodnimy, że gdy $BF \parallel CE$ , to również $BC \parallel EF$ . Istotnie, z tego że $AB \parallel DE$ , $AF \parallel DC$ , $BF \parallel CE$ wynika, że trójkąty $ABF$ i $DEC$ są jednokładne. Środkiem jednokładności jest środek $O$ danego okręgu, gdyż okrąg ten jest okręgiem opisanym na obu trójkątach, a w jednokładności środkowi okręgu opisanego na jednym trójkącie odpowiada środek okręgu opisanego na drugim trójkącie, więc punkt $O$ odpowiada sam sobie. W takim razie jednokładność trójkątów $ABF$ i $DEC$ jest symetrią środkową. Ponieważ w tej symetrii punktami odpowiednimi do $B$ i $C$ są punkty $E$ i $F$ , więc $BC \parallel EF$ , c. n. d.