XI OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XI OM, 1959-1960

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli równanie

$ (1) \qquad x^4 + ax + b = 0 $

ma dwa równe pierwiastki, to

$ (2) \qquad \left( \frac{a}{4} \right)^4 = \left( \frac{b}{3} \right)^3. $

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że równanie (1) ma dwa pierwiastki równe $\alpha$ ; wtedy $\alpha^4 + a\alpha + b = 0$ , zatem

$ \begin{split} x^4 + ax + b &= (x^4 + ax + b) - (\alpha^4 + a\alpha + b) =\\ &= (x^4 - \alpha^4) + a (x - \alpha) = (x - \alpha) Q (x), \end{split} $

gdzie

$ Q (x) = x^3 + \alpha x^2 + \alpha^2 x + \alpha^3 + a; $

liczba $\alpha$ jako podwójny pierwiastek wielomianu $x^4 + ax + b$ jest pierwiastkiem wielomianu $Q (x)$ , zatem

$ Q (\alpha) = 4\alpha^3 + a = 0. $

Rugując $\alpha$ z równań

$ \alpha^4 + a\alpha + b = 0,\ 4 \alpha^3 + a = 0 $

otrzymujemy warunek (2):

$ \left( \frac{a}{4} \right)^4 = \left( \frac{b}{3} \right)^3. $

Uwaga. Warunek (2) jest nie tylko konieczny, ale i dostateczny do tego, by równanie (1) miało dwa równe pierwiastki. Żeby to udowodnić, wystarczy rozumowanie przeprowadzone wyżej zmodyfikować w sposób następujący.

Wielomian $x^4 + ax + b$ ma wtedy i tylko wtedy równe pierwiastki, gdy istnieje taka liczba a, że $x^4 + ax + b = (x - \alpha)^2 \cdot R (x)$ , gdzie $R (x)$ jest wielomianem.

Otóż przy dowolnym $\alpha$ możemy napisać, wykonując dzielenie przez $x - \alpha$ ,

$ x^4 + ax + b = (x - \alpha) (x^3 + \alpha x^2 + \alpha^2x + \alpha^3 + a) + \alpha^4 + a \alpha + b $

oraz

$ x^3 + \alpha x^2 + \alpha^2x + \alpha^3 + a = (x - \alpha) (x^2 + 2\alpha x + 3\alpha^2) + 4\alpha^3 + a. $

Z tych równości wynika, że wielomian $x^4 + ax + b$ jest wtedy i tylko wtedy podzielny przez $(x - \alpha)^2$ , gdy

$ (3) \qquad \begin{array}{c} \alpha^4 + a\alpha + b = 0 \\ 4\alpha^3 + a = 0. \end{array} $

Układ warunków (3) można zastąpić przez układ równoważny

$ (4) \qquad \begin{array}{c} 3a \alpha + 4b = 0,\\ 4\alpha^3 + a = 0, \end{array} $

w którym pierwsza równość otrzymana została przez odjęcie od siebie równości (3) pomnożonych odpowiednio przez $4$ i przez $\alpha$ .

Gdy $a \ne 0$ , to obliczając $\alpha$ z pierwszej równości (4) i podstawiając otrzymane wyrażenie do drugiej, otrzymujemy układ równoważny

$ \nr{5a} \begin{array}{c} \alpha = - \frac{4b}{3a}\\ \left( \frac{a}{4} \right)^4 = \left( \frac{b}{3} \right)^3. \end{array} $

A zatem gdy $a \ne 0$ , to równanie (1) ma wtedy i tylko wtedy dwa pierwiastki równe, gdy spełniona jest druga z równości (5a), czyli warunek (2), przy czym pierwiastki te mają wartość określoną przez pierwszą z równości (5a).

Jeśli $a = 0$ , to zamiast warunków (5a) otrzymujemy warunki

$ \nr{5b} \begin{array}{c} a = 0, \\ b = 0. \end{array} $

Warunek $b=0$ jest oczywiście w tym przypadku równoważny warunkowi (2).

Ćwiczenie. Wykazać, że równanie (1) ma $3$ równe pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy $a = 0$ i $b = 0$ , tzn. gdy wszystkie $4$ jego pierwiastki są zerami.