XI OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XI OM, 1959-1960

Etap:

III

Z cyfr $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ utworzono wszystkie możliwe liczby czterocyfrowe o cyfrach różnych. Znaleźć sumę tych liczb.

Rozwiązanie

Obliczymy, ile jest liczb czterocyfrowych o cyfrach różnych, jakie można utworzyć z cyfr od $1$ do $9$ . Pierwszą cyfrę $c_1$ można wybrać $9$ -ma sposobami; gdy $c_1$ jest już ustalone, drugą cyfrę $c_2$ możemy wybrać $8$ -ma sposobami; gdy ustalone są $c_1$ i $c_2$ , to na $c_3$ mamy $7$ możliwości; gdy wreszcie ustalone są cyfry $c_1$ , $c_2$ i $c_3$ , dla czwartej cyfry $c_4$ pozostaje jeszcze $6$ możliwości. Wobec tego zbiór wszystkich rozważanych liczb składa się z $9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6$ liczb.

Do każdej liczby tego zbioru istnieje w nim określona inna liczba, której cyfry dopełniają odpowiednie cyfry danej liczby do dziesięciu. Wszystkie liczby zbioru można zatem połączyć w pary, zaliczając do tej samej pary takie dwie liczby, których odpowiednie cyfry dają w sumie $10$ , jak np. $3562$ i $7548$ .

Wszystkich par jest $\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6$ ; suma liczb jednej pary wynosi $1000 \cdot 10 + 100 \cdot 10 + 10 \cdot 10 + 10 = 11110$ , zatem suma wszystkich liczb rozważanego zbioru jest równa

$<br /> \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 11110 = 16798320.<br />$