I MEMO - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

I MEMO, 2007

Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $k$ , dla których istnieje taka liczba całkowita $a$ , że liczba $(a+k)^3-a^3$ jest podzielna przez 2007.

Rozwiązanie

Jeżeli liczba $(a+k)^3-a^3=3(a^2k+ak^2)+k^3$ dzieli się przez $2007=3\cdot 669$ , to tym bardziej dzieli się przez 3, co może mieć miejsce jedynie wtedy, gdy spełniona jest podzielność $3\,|\,k^3$ . Zatem warunkiem koniecznym na to, by dodatnia liczba całkowita $k$ spełniała warunki zadania, jest podzielność $3\,|\,k$ .

Wykażemy, iż jest to również warunek dostateczny.

Jeżeli mianowicie $3\,|\,k$ , to $k=3m$ dla pewnej liczby całkowitej $m>0$ ; wówczas dla wartości $a=38m$ liczba

$\begin{split}(a+k)^3-a^3&=(38m+3m)^3-(38m)^3=\cr &=(41^3-38^3)m^3=14049m^3=2007\cdot 7m^3}$

jest podzielna przez 2007.

Odpowiedź: Liczba całkowita dodatnia $k$ spełnia warunki zadania wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 3.

Uwaga: Jak dojść do tego, że gdy $k=3m$ , to należy podstawić $a=38m$ , by liczba $(a+k)^3-a^3$ była podzielna przez 2007 ?

Rozpatrzmy szczególny przypadek $m=1$ . Chcemy, aby liczba

$<br /> (a+3)^3-a^3=9(a^2+3a+3)<br />$

była podzielna przez $2007=9\cdot 223$ , co jest oczywiście równoważne podzielności $223\,|\,a^2+3a+3$ , czyli równości

$<br /> (1) \qquad a^2+3a+3=223n<br />$

dla pewnej liczby całkowitej $n$ . Potraktujmy tę równość jako równanie kwadratowe ze względu na zmienną $a$ przy danej wartości $n$ . Jeżeli rozwiązanie równania jest liczbą całkowitą, to wyróżnik tego równania, który wynosi $3^2-4(3-223n)=892n-3$ , powinien być kwadratem liczby całkowitej. Przy tym liczba $n$ musi być nieparzysta, gdyż lewa strona równości (1) jest liczbą nieparzystą dla dowolnej liczby całkowitej $a$ .

Obliczając wielkość $892n-3$ kolejno dla liczb $n=1,3,5,\ldots$ stwierdzamy, że dla $n=7$ otrzymujemy kwadrat: $892\cdot 7-3=6241=79^2$ . Równanie (1) przybiera wówczas postać $a^2+3a+3=1561$ i jego rozwiązaniami są liczby $a=38$ oraz $a=-41$ .

Zatem do liczby $m=1$ możemy dobrać wartość $a=38$ . Mnożąc teraz liczbę $(38+3)^3-38^3$ (która jest podzielna przez 2007) przez $m^3$ widzimy, że do dowolnej wartości $m$ można dobrać liczbę $a=38m$ .