X OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

X OM, 1958-1959

Etap:

Dowieść, że gdy $n$ jest liczbą naturalną większą od $1$ , to

$ \left( 1 - \frac{1}{4} \right) \left( 1 - \frac{1}{9} \right) \left( 1 - \frac{1}{16} \right) \ldots \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) = \frac{n+1}{2n}. $

Rozwiązanie

Przekształcamy lewą stronę $L$ równości (1):

$ \begin{split} L &= \frac{2^2 - 1}{2^2} \cdot \frac{3^2-1}{3^2} \cdot \frac{ 4^2 - 1}{4^2} \cdot \ldots \cdot \frac{n^2 - 1}{n^2}= \frac{(2 + 1) (2 - 1)}{2^2} \cdot \\ &\cdot \frac{(3 + 1) (3 - 1)}{3^2} \cdot \frac{(4 + 1) (4 - 1)}{4^2} \cdot \ldots \cdot \frac{(n +1)(n- 1)}{n^2} = \\ &= \frac{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (n + 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n - 1)}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \cdot \ldots \cdot n^2} = \\ &= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \cdot \ldots \cdot (n - 1)^2 \cdot n \cdot (n + 1)}{2^2 \cdot 3^2 \cdot \ldots \cdot n^2}; \end{split} $

po skróceniu ułamka przez $2 \cdot 3^2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (n - 1)^2 \cdot n$ otrzymujemy

$ L = \frac{n+1}{2n}. $