X OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

X OM, 1958-1959

Etap:

Wykazać, że

$ (1) \qquad \sqrt[3]{20 + 14 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14 \sqrt{2}} = 4. $

Rozwiązanie

Niech

$ (2) \qquad x = \sqrt[3]{20 + 14 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14 \sqrt{2}}; $

wobec tego

$ x^3 = (20 + 14 \sqrt{2}) + (20 - 14 \sqrt{2}) + 3 \sqrt[3]{(20 + 14 \sqrt{2}) (20 - 14 \sqrt{2})} \cdot x, $

skąd

$ (3) \qquad x^3 - 6x - 40 = 0. $

Równanie powyższe ma pierwiastek $x = 4$ ; rozkładając lewą stronę na czynniki, można je napisać w postaci:

$ (x - 4) (x^2 + 4x + 10) = 0, $

skąd widać, że nie ma ono innych pierwiastków rzeczywistych. Wobec tego zachodzi równość (1).

Uwaga 1. Ponieważ

$ \sqrt[3]{20 + 14 \sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{20 - 14 \sqrt{2}} = \sqrt[3]{20^2 - 14^2 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} = 2, $

więc biorąc pod uwagę równość (1) widzimy, że $\sqrt[3]{20 + 14 \sqrt{2}}$ i $\sqrt[3]{20 - 14 \sqrt{2}}$ są pierwiastkami równania kwadrat $z^2 - 4z + 2 = 0$ , skąd wynika, że

$ \sqrt[3]{20 + 14 \sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2},\ \sqrt[3]{20 - 14 \sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}. $

Uwaga 2. Zadanie powyższe wiąże się z teorią równania stopnia trzeciego (Por. Mostowski i Stark, Algebra wyższa, część III, PWN 1954, lub W.Sierpiński, Zasady algebry wyższej, Warszawa-Wrocław, 1946). Jeżeli w równaniu

$ (4) \qquad x^3 + px + q = 0 $

współczynniki $p$ i $q$ są rzeczywiste i spełniają nierówność

$ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4} > 0, $

to równanie (4) ma jeden pierwiastek rzeczywisty określony wzorem

$ (5) \qquad x = \sqrt[3]{ - \frac{q}{2} + \sqrt{ \frac{p^3}{27} \frac{q^2}{4}}} + \sqrt[3]{ - \frac{q}{2} - \sqrt{ \frac{p^3}{27} \frac{q^2}{4}}}, $

w którym należy wziąć rzeczywiste wartości pierwiastków sześciennych. Wzór (5) bywa nazywany wzorem Cardano. Dla rozważanego wyżej równania (3) wzór (5) daje właśnie wartość (2).

Zauważmy, że każdy wzór postaci

$ x = \sqrt[3]{ m + \sqrt{n}} + \sqrt[3]{ m - \sqrt{n}} $

może być zapisany w postaci (5), jeżeli oznaczymy $q = 2m$ , $p^3 = 27 (n - m^2)$ .