X OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

X OM, 1958-1959

Etap:

Dowieść, że jeżeli punkt $P$ porusza się w płaszczyźnie trójkąta $ABC$ , to trójkąt $S_1S_2S_3$ , którego wierzchołkami są środki ciężkości $S_1$ , $S_2$ i $S_3$ trójkątów $PBC$ , $PCA$ i $PAB$ nic zmienia kształtu ani wielkości.

Rozwiązanie

Jeżeli wierzchołek $P$ trójkąta $PAB$ przesunąć do punktu $P'$ (rys. 6a), wówczas środek ciężkości $S_3$ tego trójkąta przesunie się do punktu $S'_3$ .

Wektor $S_3S'_3$ ma ten sam kierunek co wektor $PP'$ i trzy razy mniejszą długość, gdyż te wektory są jednokładne (wprost) względem punktu $N$ w skali $\frac{1}{3}$ . O taki sam wektor przesunie się każdy z punktów $S_1$ i $S_2$ , a więc i cały trójkąt $S_1S_2S_3$ . Okazało się, że przy zmianie położenia punktu $P$ trójkąt $S_1S_2S_3$ ulega przesunięciu równoległemu, nie zmienia zatem wielkości ani kształtu.

Uwaga. Zadanie można uogólnić zastępując trójkąt $ABC$ dowolnym wielokątem.