X OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

X OM, 1958-1959

Etap:

Rozwiązać równanie

$ \sqrt{x - 2 \sqrt{x-1}} - \sqrt{x + 3 - 4 \sqrt{x-1}} = 1. $

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że pierwiastkami danego równania mogą być tylko liczby nie mniejsze od $1$ . Gdy $x \geq 1$ , to $x - 2 \sqrt{x - 1} = x - 1 - 2\sqrt{x-1} + 1 = ( \sqrt{x - 1} - 1)^2$ , a $x + 3 - 4 \sqrt{x - 1} = x - 1 - 4 \sqrt{x - 1} + 4 = (\sqrt{x - 1} - 2)^2$ , więc dane równanie można napisać w postaci

$ \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2} - \sqrt{(\sqrt{x-1} - 2)^2} =1 $

lub w postaci

$ (1) \qquad | \sqrt{x - 1} - 1 | - | \sqrt{x-1} - 2 | = 1. $

Przypuśćmy, że liczba $x$ spełnia równanie (1). Rozważymy $3$ możliwości

a) $1 \leq x < 2$ . W tym przedziale równanie (1) przybiera postać

$ 1 - \sqrt{x - 1} - (2 - \sqrt{x - 1}) = 1, $

wyraża zatem sprzeczność $-1 = 1$ , co oznacza, że przypadek a) zdarzyć się nie może.

b) $2\leq x < 5$ . Dla takich wartości $x$ równanie (1) możemy napisać w postaci

$ \sqrt{x - 1} - 1 - (2 - \sqrt{x - 1}) = 1, $

co daje

$ \sqrt{x - 1} = 2 \textrm{ lub } x = 5. $

Otrzymaliśmy sprzeczność z warunkiem b), co oznacza, że równanie (1) nie ma pierwiastków spełniających ten warunek;

c) $x \geq 5$ ; równanie (1) przybiera postać

$ \sqrt{x - 1} - 1 - (\sqrt{x - 1} - 2) = 1. $

Otrzymujemy tożsamość $1 = 1$ . Znaczy to, że każda liczba spełniająca warunek c) czyni zadość równaniu (1). Z powyższego wynika, że rozwiązaniami danego równania są wszystkie liczby nie mniejsze od $5$ .