X OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

X OM, 1958-1959

Etap:

Dowieść, że jeżeli $n$ jest liczbą naturalną większą od $1$ , a $d$ dowolną liczbą dodatnią, to

$ \textrm{a)} \qquad (1 + d)^n > 1 + nd, $

$ \textrm{b)} \qquad 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n < (n + 1)^n. $

Rozwiązanie

a) Według wzoru dwumianowego Newtona

$ (1 + d)^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}d + \binom{n}{2} d^2 + \ldots + \binom{n}{k} d^k + \ldots + \binom{n}{n} d^n, $

gdzie $\binom{n}{0} = 1$ , a $\binom{n}{k} = \frac{n (n - 1) \cdot \ldots \cdot (n - k + 1)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot k}$ dla $k$ całkowitego dodatniego.

Ponieważ wszystkie wyrazy po prawej stronie tego wzoru są dodatnie, więc pozostawiając tylko dwa pierwsze, otrzymujemy

$ (1 + d)^n > 1 +nd. $

b) Według twierdzenia Cauchy'ego o średniej geometrycznej i średniej arytmetycznej (Por. Zadania z Olimpiad Matematycznych, PZWS, Zadanie Nr 62), średnia geometryczna liczb $2, 4, 6, \ldots, 2n$ jest mniejsza od średniej arytmetycznej tych liczb, tzn.