X OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

X OM, 1958-1959

Etap:

Bokami trójkąta są środkowe innego trójkąta. Obliczyć stosunek pól obu trójkątów. Czy ze środkowych dowolnego trójkąta można zbudować trójkąt?

Rozwiązanie

Niech $S$ będzie środkiem ciężkości trójkąta $ABC$ . Przedłużmy środkową $AD$ o odcinek $DM = SD$ (rys. 15). Otrzymujemy trójkąt $BSM$ , w którym $BS = \frac{2}{3} BE$ , $SM = \frac{2}{3} AD$ , a $BM = SC = \frac{2}{3} CF$ (gdyż czworokąt $SBMC$ jest równoległobokiem). Trójkąt $BSM$ jest więc podobny w skali $\frac{2}{3}$ do trójkąta $T$ utworzonego ze środkowych trójkąta $ABC$ ; pole trójkąta $BSM$ równa się zatem $\frac{4}{9}$ pola $T$ . Lecz pole $\triangle BSM = \textrm{pole }\triangle ASB = \frac{1}{3} \cdot \textrm{pole }\triangle ABC$ . Stąd wynika, że $\textrm{pole }T = \frac{3}{4} \cdot \textrm{pole }\triangle ABC$ .